Los grupos satisfacen cuatro axiomas:
- Cierre : [math] \ forall a, b \ in G: a * b \ in G [/ math]
- Asociatividad : [matemáticas] \ para todos, a, b, c \ en G: (a * b) * c = a * (b * c) [/ matemáticas]
- Identidad : [matemáticas] \ existe 1 \ en G \; \ forall a \ en G: 1 * a = a * 1 = a [/ math]
- Inverso : [matemática] \ forall a \ en G \; \ existe a ^ {- 1} \ en G: a * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * a = 1 [/ matemática]
Dado que la operación [math] * [/ math] se ha definido en términos de la multiplicación habitual en los números, el axioma 4 requiere que excluyamos cero, y que el conjunto incluya inversos multiplicativos.
El conjunto más pequeño de este tipo es [matemático] \ {1 \} [/ matemático], pero los racionales racionales lo harían, o los racionales positivos [matemático] \ Q ^ + [/ matemático], o reales no nulos [matemático] \ R- 0 [/ matemática] o números complejos [matemática] \ C-0 [/ matemática], o….
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