¿Es verdadera esta propiedad para la doble notación sigma / sumatoria?

Su declaración como impresa es falsa, pero la idea que creo que está tratando de llegar es correcta. El límite inferior para iyj también debe colocarse en los subíndices de sus sumas para tener una notación adecuada.

Sin embargo, puede intercambiar sumas finitas, sumas infinitas de series convergentes e incluso integrales con algunos supuestos sobre las funciones integradas. El resultado más general se llama ‘Teorema de Fubini’.

Una prueba rápida y simple es mirar los índices que ocurren en ambos lados y darse cuenta de que son iguales.

Otra prueba rápida pero un poco complicada es reformular el lado izquierdo y el lado derecho como multiplicación matricial y observar que estas dos ecuaciones son transpuestas entre sí, pero la suma total es una matriz 1 × 1, y una matriz 1 × 1 es su propia transponer.

Si. Esto es cierto debido a las propiedades asociativas y conmutativas de la suma, que nos permiten sumar los elementos en cualquier orden, suponiendo que la suma sea finita.

Cada [math] x_ {ij} [/ math] a la izquierda también aparece a la derecha, una vez y exactamente una vez. Puede mostrar esto, si es necesario, contando cuántas veces aparece un término arbitrario [math] x_ {pq} [/ math] en cada lado. En el lado izquierdo es:

* 0 veces si [matemática] p <1 [/ matemática] (suponiendo un esquema de indexación implícito basado en 1) o [matemática] p> n [/ matemática]

* 0 veces si [matemática] q <1 [/ matemática] o [matemática] q> m [/ matemática]

* 1 vez si [matemáticas] 1 \ leq p \ leq n [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 \ leq q \ leq m [/ matemáticas]

Las mismas propiedades son válidas para el lado derecho.

Debido a que los mismos elementos aparecen con solo su asociatividad y orden cambiados, las sumas son las mismas.

(Otro método de prueba es usar la inducción en n, y luego en m, comenzando con el caso base [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {1} \ sum_ {j = 1} ^ {1} x_ {ij} [/ math] [math] = x_ {11} = \ sum_ {j = 1} ^ {1} \ sum_ {i = 1} ^ {1} x_ {ij} [/ math].)

La forma más fácil de demostrar esto es simplemente dibujar una matriz nxm y usar la propiedad conmutativa de la suma.