¿Qué es lo mejor que la gente sabe en matemáticas?

Las tres principales hipótesis orientadoras para la teoría de categoría superior. Son la hipótesis de desdoblamiento, la hipótesis de estabilización y la hipótesis de la homotopía. Dado algún modelo potencial para la teoría de categoría superior, debería satisfacer estas tres hipótesis.

En matemáticas, una categoría puede considerarse fructíferamente como una colección de espacios unidimensionales orientados (líneas) y una forma coherente en la que se pegan, en el sentido de que debería obtener el mismo resultado si pego A y B juntos y pegue C en el extremo como lo haría si tuviera que pegar B y C y pegar A en el frente. Con esta imagen en mente, las categorías superiores son solo colecciones de espacios orientados de dimensiones superiores con una forma coherente de unirlas. Este pegado también debería jugar muy bien con los límites de menor dimensión, esquinas, etc.

La hipótesis de Delooping

Si tenemos una categoría más alta, podemos agregar un sistema de multiplicación para las diferentes piezas. Esta estructura convierte nuestra categoría superior en una categoría monoidal más alta. Digamos que multiplico dos objetos A y B para obtener dos resultados, A × B y B × A. Estos dos no siempre son iguales, pero la dimensión más pequeña del espacio que puedes encontrar que no puede distinguir entre ellos (usando solo datos de esa dimensión) da el nivel de conmutatividad de nuestra multiplicación.

También existe una noción de diferentes niveles de conexión para las categorías superiores. Cuanto más conectada esté una categoría, mayor será la dimensión a la que tendrá que ir para encontrar datos que no sean equivalentes. En términos de topología, esto corresponde a la n-conectividad real, determinada por la desaparición de los grupos de homotopía inferiores. La conectividad te dice cuánto de la estructura de dimensiones inferiores de una categoría superior es trivial.

La hipótesis del desdoblamiento afirma aproximadamente que siempre se puede hacer un intercambio: puede disminuir el nivel de conmutatividad de una categoría monoidal más alta a cambio de eliminar una cantidad proporcional de estructura de dimensión inferior y agregar una cantidad proporcional de estructura de dimensión superior. Otra forma de ver esto es que puede “deslizar” los datos de una categoría superior o un espacio hacia arriba o hacia abajo en la dimensión a cambio de sumar o restar la rigidez de la estructura monoidal (a veces esta estructura puede no existir hasta que realice el diapositiva).

La hipótesis de estabilización

Esta hipótesis también está relacionada con categorías monoidales superiores. Aproximadamente, establece que cuán estricta de una estructura monoidal que se puede colocar en una categoría superior está limitada por la dimensión más alta de la categoría. Esto termina siendo importante para dar estructura diferencial a los espacios utilizando las herramientas de la teoría de categoría superior, y también allana el camino para la teoría de la homotopía estable.

La hipótesis de la homotopía

Este es probablemente el más frecuente. Establece, más o menos, que las categorías superiores son espacios dirigidos de manera equivalente de una determinada dimensión. Esto termina siendo extremadamente útil, porque las categorías superiores son artilugios algebraicos sintéticos, pero podemos pensar en ellos espacialmente y también tenemos garantizada la existencia de una descripción algebraica para cualquier espacio.

Estas ideas impregnan la teoría de categoría superior, y la filosofía, la física y las matemáticas están disfrutando del fruto de estas ideas.

[matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es real, donde [matemáticas] i = \ sqrt {-1} [/ matemáticas].

Identidad de Euler

Por Wikipedia:

Muy sorprendente. e, i y pi son superestrellas en matemáticas. Entonces, cuando se encuentran, dan un resultado sorprendente.

e es el número de Euler, la base de los logaritmos naturales, i es la unidad imaginaria, que satisface i 2 = −1, y π es pi, la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de profunda belleza matemática. [3] Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación. La identidad también vincula cinco constantes matemáticas fundamentales: [4]

• El número 0, la identidad aditiva.
• El número 1, la identidad multiplicativa.
• El número π, que es ubicuo en trigonometría, la geometría del espacio euclidiano y las matemáticas analíticas (π = 3.14159265 …)
• El número e , la base de los logaritmos naturales, que ocurre ampliamente en el análisis matemático, científico y financiero ( e = 2.718281828 …). Tanto π como e son números trascendentales.
• El número i , la unidad imaginaria de los números complejos, un campo de números que contiene las raíces de todos los polinomios (que no son constantes), y cuyo estudio conduce a una comprensión más profunda de muchas áreas de álgebra y cálculo.

Además, la ecuación se da en forma de un conjunto de expresiones igual a cero, que es una práctica común en álgebra y otras áreas de las matemáticas.

Explicación
La fórmula de Euler para un ángulo general:

La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler a partir de análisis complejos, que establece que para cualquier número real x ,

Donde los valores de las funciones trigonométricas seno y coseno se dan en radianes .

En particular, cuando x = π , o media vuelta (180 °) alrededor de un círculo:

Ya que

y

Resulta que

Lo que produce la identidad de Euler:

De Wikipedia: la identidad de Euler

1. La densidad de números primos disminuye asintóticamente con [math] \ frac {1} {\ ln {x}} [/ math] para grandes [math] x [/ math]. No es de extrañar que tengamos más números primos concentrados en el espectro inferior 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 … La frecuencia disminuye asintóticamente a medida que avanzamos
2. Problema de la bola peluda: establece que, dada una bola con pelos por todas partes (digamos una esfera con pelos por todas partes), es imposible peinar los pelos continuamente y tener todos los pelos planos. ¡Algún cabello debe estar pegado hacia arriba!
3. Teorema de punto fijo de Brouwer: dos hojas de papel una sobre otra. Si desmenuza uno y lo coloca sobre el otro, entonces hay al menos un punto en la hoja superior directamente encima de la hoja correspondiente como estaba. En tres dimensiones: si tomas una taza de café y la derramas, entonces debe haber al menos un punto en el café que esté en el lugar exacto en el que estaba antes de hacer el chapoteo.

El teorema asume continuidad y convexidad (si rasga el papel o si salpica de manera discontinua, entonces puede que no haya un punto fijo). Matemáticamente: Dada una función continua [math] \ mathbf {f: X \ rightarrow X} [/ math] donde [math] \ mathbf {X} [/ math] es convexo, entonces existe un punto fijo [math] \ mathbf {x_ {0} \ in X} [/ math] tal que [math] \ mathbf {f (x_ {0}) = x_ {0}} [/ math]

1. Problema de Monty Hall: es un famoso desafío para la mente que desafía nuestra intuición. “Supongamos que estás en un programa de juegos y te dan la opción de elegir entre tres puertas: detrás de una puerta hay un automóvil; detrás de los demás, cabras. Usted elige una puerta, dice No. 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice No. 3, que tiene una cabra. Luego te dice. “¿Desea elegir la puerta 2 o quedarse con la ya elegida No. 1” ¿Es ventajoso cambiar su elección?

(Exposición exacta del problema, en la columna de la revista Parade , 1990) “. Las personas que cambiaron tienen [matemática] \ frac {2} {3} [/ matemática] posibilidades de ganar y aquellos que se quedan con el mismo, reducen las probabilidades de ganar a [matemática] \ frac {1} {3} [/ matemática ] La prueba implica probabilidad condicional. Ver comentario para prueba

1. Teorema de imposibilidad de Abel: no existe una solución algebraica explícita para las ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios. Para lineal, tenemos [matemática] x = – \ frac {b} {a} [/ matemática]. Para Cuadrático [matemática] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemática]. Existen fórmulas similares para ecuaciones de tercer y cuarto grado. Este teorema establece que no existe una fórmula similar para las ecuaciones generales de quinto grado o más.
2. Uno de los “problemas de un millón de dólares”: existe una prima en el intervalo [matemáticas] (x- \ frac {4} {\ pi} \ sqrt {x} \ ln {x}, x [/ matemáticas]. Esto es equivalente de la hipótesis de Riemann
3. Conjetura de Goldbach: todos los números positivos mayores que 4 se pueden expresar como la suma de dos primos. También es uno de los problemas del Premio del Milenio. Sin resolver pero verificado hasta [matemática] 4 * 10 ^ {18} [/ matemática]
4. Franja de Möbius: es una superficie con solo un lado y solo un límite y un área infinita
5. Teorema del límite central: establece que la suma de un gran número de variables independientes, distribuidas idénticamente, exhibe distribución gaussiana independientemente de la distribución subyacente. Ejemplos: suma de números lanzados, distancia total recorrida en caminata aleatoria, número total de caras al lanzar una gran cantidad de monedas
6. La broma, es posible que haya escuchado “Un topólogo es una persona que no puede distinguir la diferencia entre una taza de café y una rosquilla”. Bueno, topológicamente en matemáticas ambos son objetos equivalentes.
7. [matemáticas] i ^ i = e ^ {- \ frac {\ pi} {2}} [/ matemáticas]
8. La suma de esta serie diverge a infinito [matemáticas] 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5}… = \ infty [/ math]
9. [matemáticas] 1+ 2+ 3 + 4 + 5…. \ infty = – \ frac {1} {12} [/ math]. La suma es [matemática] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática], solo cuando [matemática] n [/ matemática] es finita. Existen varias pruebas, también se pueden obtener de la función Riemann Zeta. Utilizado ampliamente en la teoría de cuerdas para calcular los niveles de energía en cuerdas, calculando la fuerza de Casimir …

1. Paradoja de cumpleaños: que hay un 99.9% de posibilidades de que dos personas en un grupo aleatorio de 70 personas compartan la misma fecha de nacimiento y un 50% de posibilidades con solo 23 personas. Ver: problema de cumpleaños
2. Curva de Jordan: que no es evidente que cuando dibuja un circuito cerrado en una región particular, divide la región en una región interior y una exterior. Ver: teorema de la curva de Jordan
3. Fourier: cualquier señal se puede representar como una combinación de senos simples y cosenos. Ver: transformada de Fourier
4. Serie Taylor: cualquier función analítica puede aproximarse mediante una suma infinita de polinomios. Ver: serie Taylor
5. La paradoja de Zenón: que nunca puedes coger un autobús (o la Tortuga nunca podría haber ganado sin importar cuán lenta fue la Liebre, porque la Liebre comenzó primero) porque 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Ver : Paradojas de Zenón
6. Gaussiano en todas partes: que cualquier experimento (u observación, independientemente de cuán aleatoria sea su distribución, aunque con media y varianza finitas) cuando se realiza de forma iterativa durante un número suficientemente grande de veces se distribuirá normalmente. Ver: Teorema del límite central
7. La paradoja de Galileo: que no todos los infinitos son iguales o incluso mayores o menores que los demás. Estas relaciones no se aplican a conjuntos infinitos. Ver: paradoja de Galileo

La ecuación de curvas BATMAN

La curva de Batman es una curva por partes en la forma del logotipo del superhéroe de Batman publicado originalmente en la portada de Internet el 28 de julio de 2011. Se puede escribir como dos funciones, una para la parte superior y la otra para el parte inferior, como
=
(1)
(2)
dónde es la función de paso Heaviside y
(3)
(4)
(5)
(6)

Su área se puede calcular exactamente como
(7)

Una anécdota común sobre Ramanujan relata cómo Hardy llegó a la casa de Ramanujan en un taxi con el número 1729, un número que, según él, no era nada interesante. Se dice que Ramanujan declaró en el acto que, por el contrario, en realidad era un número matemático muy interesante, siendo el número más pequeño representable de dos maneras diferentes como una suma de dos cubos. Dichos números ahora se denominan “números de taxi”.

1. Considere una habitación cuadrada de 10 metros por 10 metros. Deje que cada punto del piso sea de color rojo o blanco. Entonces existen en algún lugar del piso dos puntos del mismo color que están exactamente a 1 metro de distancia.

PRUEBA: Considere un triángulo equilátero en el piso de la habitación con longitudes laterales iguales a 1 metro, ya que cada punto en el piso es rojo o blanco, dos vértices del triángulo deben tener el mismo color, lo que demuestra la afirmación.

2. Si n> 1, existe al menos un número primo tal que n

En palabras simples, no importa cuán grande o pequeño sea un número, entre cualquier número y su doble, habrá al menos un primo.

Por 6174 (número):

Tome cualquier número de 4 dígitos, siga estos pasos y terminará con 6174 .

1. Elija cualquier número de cuatro dígitos, utilizando al menos dos dígitos diferentes.
2. Organice los dígitos en orden descendente y luego ascendente para obtener dos números de cuatro dígitos.
3. Resta el número más pequeño del número más grande.
4. Regrese al paso 2 y repita.

Eventualmente terminarás obteniendo 6174 , que se conoce como la constante de Kaprekar .

Al usar las matemáticas puedes encontrar en qué número está pensando.
La técnica es primero decirle a la persona que asuma un número, deje que el número sea X;
Paso 1: dile que duplique el número, es decir, 2X.
Paso 2: dile que agregue un número al que conoces
Paso 3: dile que la mitad del total.
Paso 4: dile que subestructura el primer número supuesto, es decir, X.
conclusión: la respuesta final será la mitad del número que ha agregado.
por ejemplo, si agrega 50 obtendrá 25 como respuesta.
si agrega 10 obtendrá 10 como respuesta.
Si no lo crees, pruébalo.

Primes está en P , más conocida como la prueba de primitividad de AKS.

El algoritmo determina si un número es primo o compuesto dentro del tiempo polinómico. AKS es el primer algoritmo de prueba de primalidad que es simultáneamente general , polinomial , determinista e incondicional .

Aquí, puede echar un vistazo al documento: Página en iitk.ac.in

Digamos que dos números son diferentes si puedes encontrar un número que esté entre esos dos.
Por ejemplo:
5 y 5.1 son diferentes porque 5.03 es un número entre 5 y 5.1, por lo tanto, son diferentes. Por cierto, elegimos 5.03 sin ninguna razón en particular, podríamos haber elegido 5.04, 5.05 … y sería lo mismo.
Ahora, según esto, se cumple la siguiente igualdad:
0.999 … = 1
(donde 0.999 … significa que el patrón de 9 sigue para siempre)
Como no hay un tercer número entre esos dos, deben ser iguales.
Lo sorprendente de esto es que significa que la suma de números infinitos produce un número entero. ¿Cómo preguntas? Bien
0.9 = 9/10
0.09 = 9/100
0.009 = 9/1000
y puedes mantener este patrón para siempre. Luego sumas todos esos números y obtienes
0.9 + 0.09 + 0.009 +… = 0.999…
Pero acabamos de ver eso
0.999 … = 1
Por lo tanto, concluimos que:
0.9 + 0.09 + 0.009 +… = 1
¡Increíble! 🙂

El teorema de incompletitud de Godel. Godel lo declaró inicialmente, pero ha tomado muchas formas: el teorema de recursión de Kleene y el de Turing
Entscheidungsproblem (capacidad de decisión) son solo motivos en la misma idea básica. Lleva a preguntas sobre qué es la lógica, qué es la conciencia, qué es el conocimiento; como dijo una vez mi amigo Griff (refiriéndose a la relatividad) es un “orgasmo mental”. Puede pasar toda una vida explorando las implicaciones de esta idea básica.

La fórmula autorreferencial de Tupper. ¡Esta inecuación cuando se grafica produce la inecuación misma como el gráfico!

Google esta ecuación (solo copiar / pegar):
“5 + (-sqrt (1-x ^ 2- (y-abs (x)) ^ 2)) * cos (30 * ((1-x ^ 2- (y-abs (x)) ^ 2)) ), x es de -1 a 1, y es de -1 a 1.5, z es de 1 a 6 ”

Te sorprenderá la curva que produce.
Esto es solo una mera revisión de la curva. Incluso puede editar los valores y ver las transformaciones.

exp (i * pi) + 1 = 0

Esta ecuación tiene 4 componentes especiales:
1) Un número racional (1)
2) Un número irracional (pi)
3) Un número complejo (i = sqrt (-1))
4) Un exponencial (exp ())

El complicado LHS es en realidad igual al omnipresente RHS cero.

1. max (x, y) = (x + y + | xy |) / 2
2. min (x, y) = (x + y- | xy |) / 2
3. Cualquier número primo mayor o igual a 5 puede representarse como 6n + 1 o 6n-1.
4. Algoritmo de Cooley-Tukey para evaluar la transformación rápida de Fourier.

(Este es un algoritmo de diezmado en el tiempo. También hay otras formas).

Fractales

Sus aplicaciones son alucinantes

Un fractal es un patrón interminable. Los fractales son patrones infinitamente complejos que son auto-similares en diferentes escalas. Se crean repitiendo un proceso simple una y otra vez en un ciclo de retroalimentación continuo.

Se pueden usar para determinar la longitud de las costas y se pueden extender para medir la cantidad de dióxido de carbono que consume toda una selva tropical

Hay suficientes enlaces para aprender sobre Fractales. Solo google