¿Cómo se encuentra la longitud de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas [matemáticas] x = e ^ t \ sen t [/ matemáticas] y [matemáticas] y = e ^ t \ cos t [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 \ le t \ le \ pi [/ math]?

Parece que lo hiciste perfectamente bien. Lleguemos allí y alejemos. Se simplifica muy bien.

[matemáticas] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle L = \ int ds = \ int \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} [/ matemáticas]

Qué significa eso? El truco consiste en multiplicar por [matemáticas] \ dfrac {dt} {dt}. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle L = \ int \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} \ \ dfrac {dt} {dt} = \ int \ sqrt {\ left (\ dfrac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {dy} {dt} \ right) ^ 2} \ \ dt [/ math]

La longitud es la integral de la velocidad en el tiempo. Tiene sentido. Esta es probablemente la fórmula a la que te refieres.

[matemáticas] x = e ^ t \ sin t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = e ^ t \ cos t + e ^ t \ sin t = e ^ t (\ cos t + \ sin t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = e ^ t \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = – e ^ t \ sin t + e ^ t \ cos t = e ^ t (\ cos t – \ sin t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {dy} {dt} \ right) ^ 2 = e ^ {2t} ((\ cos t + \ sin t) ^ 2 + (\ cos t – \ sin t) ^ 2) [/ math]

[matemáticas] = e ^ {2t} (\ cos ^ 2 t + 2 \ cos t \ sin t + \ sin ^ 2 t + \ cos ^ 2 t – 2 \ cos t \ sin t + \ sin ^ 2 t) [/matemáticas]

[matemáticas] = 2 e ^ {2t} (\ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 e ^ {2t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle L = \ int \ sqrt {\ left (\ dfrac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {dy} {dt} \ right) ^ 2} dt = \ int_0 ^ \ pi \ sqrt {2 e ^ {2t}} dt = \ sqrt {2} \ int_0 ^ \ pi e ^ t dt = \ sqrt {2} (e ^ \ pi-1) [/ math]

Me llevó un tiempo recordar lo que querías decir con “frustrar”. De hecho, el “frustrar” esto no es ni remotamente extremo si te detienes y piensas cuidadosamente al respecto. Primero, cada término tiene [math] e ^ t [/ math] delante de él, así que saquemos eso de la raíz cuadrada. Entonces tenemos

[matemáticas] L = \ int_0 ^ \ pi e ^ {t} \ sqrt {(\ cos t + \ sin t) ^ 2 + (\ cos t – \ sin ^ 2) ^ 2}. [/ matemáticas]

(Cambié el orden de seno y coseno en el primer cuadrado dentro de la raíz cuadrada).

Olvidemos que estamos cuadrando trigonometría. funciones Llamemos a [math] \ cos t = c [/ math] y [math] \ sin t = s [/ math]. Entonces los cuadrados dentro de la raíz cuadrada son

[matemáticas] (c + s) ^ 2 + (cs) ^ 2 = (c ^ 2 + 2 cs + s ^ 2) + (c ^ 2-2cs + s ^ 2) = 2 c ^ 2 + 2 s ^ 2 [/ matemáticas]

Esta es una identidad útil para memorizar: [matemáticas] (c + s) ^ 2 + (cs) ^ 2 = 2c ^ 2 + 2s ^ 2 [/ matemáticas]. El punto es que la única diferencia entre los dos cuadrados es el signo del término cruzado y, por lo tanto, deben cancelarse. Ahora volveremos al hecho de que son senos y cosenos.

[matemáticas] L = \ int_0 ^ \ pi e ^ {t} \ sqrt {2 (\ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t)} [/ matemáticas]

Finalmente, [matemáticas] \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 [/ matemáticas].

Esto le muestra el poder de tener algunas identidades en su haber para ayudarlo a simplificar las cosas.

Te dejaré trabajar el resto desde aquí.

La presencia de [math] \ sin t [/ math] y [math] \ cos t [/ math] sugiere que la forma polar puede ser más útil.

[matemáticas] r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 = e ^ {2t} (\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta) = e ^ {2t}; r = e ^ t; \ dfrac {dr} {dt} = e ^ t [/ math]

[matemáticas] \ theta = \ tan ^ {- 1} \ dfrac yx = \ tan ^ {- 1} \ cot t = \ tan ^ {- 1} \ tan (\ dfrac {\ pi} 2 -t) = \ dfrac {\ pi} 2 -t [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {d \ theta} {dt} = – 1 [/ matemáticas]

Ahora longitud [matemática] dL [/ matemática] de la curva [matemática] = \ sqrt {(dr) ^ 2 + r ^ 2 (d \ theta) ^ 2} = \ sqrt {(e ^ t) ^ 2 + ( e ^ t) ^ 2 * (- 1) ^ 2} dt = \ sqrt 2 e ^ t dt [/ math]

longitud de la curva requerida [matemáticas] = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi} \ sqrt 2 e ^ t dt = \ sqrt 2 e ^ t | _0 ^ {\ pi} = \ boxed {\ sqrt 2 (e ^ { \ pi} -1)} [/ math]

El radicando se puede simplificar como [matemáticas] 2e ^ {2t} [/ matemáticas] ya que [matemáticas] (a + b) ^ 2 + (ab) ^ 2 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas ] \ sin ^ 2 {x} + \ cos ^ 2 {x} = 1 [/ matemáticas].

Entonces

[matemática] L = \ int ^ \ pi_0 {e ^ {t} \ sqrt {2}} [/ matemática].

Otros pasos son triviales.

* A2A \

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ int_0 ^ \ pi \ sqrt {\ left (\ dfrac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {\ mathrm dy} { \ mathrm dt} \ right) ^ 2} \ mathrm dt \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ sqrt {(e ^ t \ sin t + e ^ t \ cos t) ^ 2 + (e ^ t \ cos te ^ t \ sin t) ^ 2} \ mathrm dt \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ sqrt {e ^ {2t} (1 + 2 \ sin t \ cos t + 1-2 \ sin t \ cos t) } \ mathrm dt \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ sqrt2e ^ t \ mathrm dt \\ & = \ sqrt2 (e ^ \ pi-1) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Estás en el camino correcto. Lo único que le falta es la confianza para seguir adelante. Haz el álgebra con mucho cuidado y aplica identidades trigonométricas a medida que las veas. Las cosas saldrán extraordinariamente bien.

Estás en el camino correcto, ¡adelante y simplifica! Para ser riguroso, ¡incluya un dt debajo de la integral!