¿Cuál es la diferencia entre un axioma y una definición?

Un axioma afirma que algo es cierto y puede hacer que una teoría sea estrictamente más fuerte. Una definición introduce una nueva notación, pero no le permite probar nada que no podría sin ella.

Un axioma es una declaración que no requiere ninguna prueba, ya que parece ciertamente obvio. Es más como un teorema obvio, tan obvio que no requiere ninguna prueba matemática. Por ejemplo, el diámetro es el acorde más largo de un círculo, etc.
Una definición, como su nombre indica, define todos los términos que se usan en teoremas y axiomas. Por ejemplo, “Un segmento de línea dibujado de un punto a otro en la circunferencia de un círculo” es la definición de un acorde.

Las definiciones usan un conjunto de condiciones para parametrizar el comportamiento de un sistema. [Por ejemplo, si el punto de movimiento permanece a una distancia fija de un punto fijo, su ‘camino se llama círculo y se comportará de cierta manera o si el calor fluye de A a B, A tiene una temperatura más alta que B …]
Mientras que los axiomas pueden usarse para establecer una nueva regla de transformación o declaraciones formales, los axiomas y las reglas de inferencia sirven conjuntamente para probar teoremas.
Un sistema axiomático es un conjunto de declaraciones (enunciados) que son los elementos iniciales de un proyecto matemático, en algunos casos los axiomas son evidentes en algunos casos y no lo son.
Los axiomas pueden ser aritméticos, geométricos o lógicos (los postulados son los axiomas específicos del tema y no se pueden generalizar)

Para responder a su segunda pregunta:

No se puede necesariamente hacer una definición particular. Por un lado, hay un concepto llamado “bien definido” que las matemáticas requieren. Si su definición le da resultados inconsistentes, no está bien definida. Ver esta entrada de Wikipedia: Bien definida. Además, en la medida en que su definición implique la existencia real de dicho objeto, no puede. No puede definir que exista un objeto matemático, debe demostrar que sí. No ayuda del todo definir algo que no puede ser, pero ciertamente puedes hacerlo. Sin embargo, es un error definir que algo es realmente. Un axioma sería lo que se usaría para afirmar que existe una entidad, cuya prueba sería difícil o imposible.