¿Cómo sumas una serie que no es una serie geométrica?

Queremos encontrar la suma infinita de [matemáticas] \ frac {n} {2 ^ n} = n (1/2) ^ n [/ matemáticas]

Podemos comenzar con la serie Power, de la siguiente manera:
[matemáticas] \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 +… + x ^ n +… [/ matemáticas]

Diferenciando ambos lados, obtenemos:
[matemáticas] \ frac {1} {(1-x) ^ 2} = 1 + 2x + 3x ^ 2 +… + nx ^ {n-1} +… [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {x} {(1-x) ^ 2} = x + 2x ^ 2 + 3x ^ 3 +… + nx ^ n +… [/ matemáticas]

Observe que el término [math] nx ^ n [/ math] es lo que estábamos tratando de encontrar con [math] n (1/2) ^ n [/ math]. Entonces, conecte x = 1/2 para obtener:
[matemáticas] \ frac {1/2} {(1-1 / 2) ^ 2} = \ frac {1/2} {1/4} = 2 [/ matemáticas]

Aquí hay una heurística bastante común para calcular una suma infinita.

anotemos los primeros términos:
[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {2} {4} + \ frac {3} {8} + \ frac {4} {16} + [/ matemáticas] …

Esto se parece mucho a una serie geométrica. De hecho, es una suma de series geométricas.
Aquí hay otra forma de escribir esos mismos términos:
[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + [/ matemáticas] …
[matemáticas] 0 + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + [/ matemáticas] …
[matemáticas] 0 + 0 + \ frac {1} {8} + \ frac {1} {16} + [/ matemáticas] …
[matemáticas] 0 + 0 + 0 + \ frac {1} {16} + [/ matemáticas] …

La forma en que ha expresado la suma es como si estuviéramos sumando las columnas de esta cuadrícula. Pero si podemos pensar en un término general para cada fila, entonces podemos reescribir la suma de esa manera. Y en este caso facilitará la suma.

Puede ver que cada fila es una serie geométrica con relación [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática]
Y cada uno tiene un término inicial diferente, pero estos términos están relacionados. A saber, son [matemáticas] \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemáticas], donde n va de 1 a infinito.

Dado que cada fila de esta cuadrícula es una serie geométrica infinita, usamos la forma cerrada para cada una, luego las sumamos todas juntas. Entonces, sumar por las filas de la cuadrícula anterior nos da:
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ frac {1} {2 ^ n}} {1 – \ frac {1} {2}} [/ matemáticas]

Esto se puede simplificar aún más a
[matemáticas] 2 * \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemáticas]

Y puede aplicar directamente la fórmula para una serie geométrica infinita, produciendo [matemática] 2 [/ matemática]

Evaluemos [math] S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nr ^ {n} [/ math] para generalidad, donde [math] r \ in (-1,1) [/ math]. En este problema, [matemáticas] r = \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

[matemáticas] S = r + 2r ^ 2 + 3r ^ 3 + 4r ^ 4 + 5r ^ 5… [/ matemáticas]
[matemáticas] rS = r ^ 2 + 2r ^ 3 + 3r ^ 4 + 4r ^ 5 + 5r ^ 6… [/ matemáticas]
Restando las dos ecuaciones anteriores,
[matemáticas] S-rS = (1-r) S = r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4… [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] S = \ frac {\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} r ^ n} {1-r} [/ matemáticas]

Usando el hecho de que la suma de una serie geométrica infinita con un término inicial ay una razón común r es [matemática] \ frac {a} {1-r} [/ matemática], podemos evaluar el término superior izquierdo, señalando que el primer término, [matemáticas] a [/ matemáticas], es [matemáticas] r [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemáticas] S = \ frac {r} {(1-r) ^ 2} [/ matemáticas]

Enchufar [math] r = \ frac12 [/ math],
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {n} {2 ^ n} = 2 [/ matemáticas].