[matemáticas] 64 (9 ^ x) – 84 (12 ^ x) + 27 (16 ^ x) = 0, [/ matemáticas] ¿cuál es el valor de x?

Esta es una buena matemática de grado 9. Espera y arregla firmemente tus cinturones de seguridad mientras te llevo en este mágico paseo de exponentes.

[matemáticas] 64.9 ^ x-84.12 ^ x + 27.16 ^ x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 64. (3 ^ 2) ^ x-84 (3.4) ^ x + 27. (4 ^ 2) ^ x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 64. (3 ^ x) ^ 2 -84.3 ^ x.4 ^ x + 27. (4 ^ x) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Ahora suponga que [matemáticas], [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ x = b [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ x = a [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 64.a ^ 2-84.a.b + 27.b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 64.a ^ 2-48.ab-36.a.b + 27.b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 16.a (4a-3b) -9b (4a-3b) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] o, (16a-9b) (4a-3b) = 0 [/ matemática]

Ahora bien [matemáticas] (16a-9b) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, (4a-3b) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] Si, (16a-9b) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] entonces, 16a = 9b [/ matemáticas]

[matemáticas] o, \ frac {a} {b} = \ frac {9} {16} = (\ frac {3} {4}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, \ frac {3 ^ x} {4 ^ x} = (\ frac {3} {4}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, (\ frac {3} {4}) ^ x = (\ frac {3} {4}) ^ 2 o, x = 2 ——— [as \, [/ math] [matemáticas] ( \ frac {3} {4}) \ ne 0, \ pm1, \ pm \ infty] [/ math]

Pero si [matemáticas], (4a-3b) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, 4a = 3b [/ matemáticas]

[matemáticas] o, \ frac {a} {b} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] o, \ frac {3 ^ x} {4 ^ x} = \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] o, (\ frac {3} {4}) ^ x = (\ frac {3} {4}) ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] o, x = 1 ———– [As \, (\ frac {3} {4}) \ ne 0, \ pm1, \ pm \ infty] [/ matemáticas]

Entonces, las respuestas son x = 1 o 2.

Espero que esto ayude. No te olvides de votar.

kLa ecuación se puede escribir como

[matemáticas] 64.3 ^ {2x} – 84. (3 ^ x.4 ^ x) + 27.4 ^ {2x} = 0 [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] 3 ^ x = m [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 ^ x = n [/ matemáticas]

[matemáticas] 64.m ^ 2 – 84mn + 27.n ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 64m ^ 2 – 48mn -36mn + 27n ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] 16m (4m-3n) – 9n (4m-3n) = 0 [/ matemática]

[matemática] (16m-9n) (4m-3n) = 0 [/ matemática]

Aquí,

[matemáticas] (16m-9n) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] (4m-3n) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16m = 9n [/ matemáticas] y [matemáticas] 4m = 3n [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores de myn

[matemáticas] 16.3 ^ x = 9.4 ^ x [/ matemáticas] o [matemáticas] 4.3 ^ x = 3.4 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {3} {4}) ^ x = \ frac {16} {9} [/ matemáticas] o [matemáticas] (\ frac {3} {4}) ^ x = \ frac34 [/ matemáticas ]

[matemáticas] (\ frac {3} {4}) ^ x = (\ frac {3} {4}) ^ 2 [/ matemáticas] o

[matemáticas] (\ frac {3} {4}) ^ x = \ frac34 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

Vamos a ver nuestros valores.

Cuando x = 1

64,9 – 84,12 + 27,16 = 576 – 1008 + 432

= 1008 – 1008 = 0

Cuando x = 2

64.81 – 84.144 + 27.256 = 5184 – 12096 + 6912

= 12096 – 12096 = 0

¡¡¡Feliz aprendizaje!!!

El valor de x = 1

Si quieres aclarar, verifica cómo obtuve la respuesta.

64 (9 * x) -84 (12 * x) +27 (16 * x) = 0

Tomemos el valor de x be 1,

Entonces, obtenemos 64 (9 * 1) -84 (12 * 1) +27 (16 * 1) = 0

64 (9) -84 (12) +27 (16) = 0

576–1008 + 432 = 0

1008–1008 = 0

(o)

-432 + 432 = 0

0 = 0

Dividir entre 9 ^ x: >> 64 – 84 (12 ^ x / (9 ^ x)) + 27 (16 ^ x / (9 ^ x)) = 0. Esto se simplifica a:

27 (4/3) ^ 2x – 84 (4/3) ^ x + 64 = 0. Ponga u = (4/3) ^ x y forme una cuadrática en u:

27u ^ 2 – 84u + 64 = 0. Esto factoriza a (9u – 16) (3u – 4) = 0. Por lo tanto,

u1 = 16/9; u2 = 4/3 y entonces (4/3) ^ x1 = 16/9 y (4/3) ^ x2 = 4/3 y entonces los dos valores posibles de x son x1 = 2 y x2 = 1.