Un punto de bifurcación es un punto tal que si vas en un bucle alrededor de él, terminas en otro lugar que donde empezaste. Un corte de rama es lo que usa para dar sentido a este hecho.
Esto se ilustra mejor con un ejemplo, así que consideremos el logaritmo complejo. Tenemos una definición del logaritmo como la inversa de la función exponencial [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] para los números reales. Pero así como podemos extender la función exponencial a los números complejos de la siguiente manera:
[matemáticas] e ^ {x + iy} = e ^ xe ^ {iy} = e ^ x (\ cos (y) + i \ sin (y)) [/ math]
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Nos gustaría poder extender el logaritmo también. Usando el hecho de que podemos expresar cualquier número complejo en la forma [math] re ^ {i \ theta} [/ math], definamos ingenuamente el logaritmo como:
[matemáticas] \ log \ left (re ^ {i \ theta} \ right) = \ log (r) + i \ theta [/ math]
Esto estará bien para cada punto, excepto [matemáticas] 0 [/ matemáticas], porque [matemáticas] \ log [/ matemáticas] tiene una singularidad en ese punto. Pero eso no debería preocuparnos demasiado. Lo que debería preocuparnos más es lo siguiente. Considerando dar vueltas en un ciclo alrededor de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. El círculo unitario funcionará bien. 
Vemos que [math] \ log (1) = 0 [/ math], [math] \ log (i) = \ log \ left (e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ frac {\ pi i} {2} [/ math], [math] \ log (-1) = \ log \ left (e ^ {i \ pi} \ right) = \ pi i [/ math]. Hasta aquí todo bien.
Pero ahora comenzamos a regresar alrededor del círculo, de regreso hacia [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Y, en particular, vemos que si nos acercamos mucho a uno, entonces el logaritmo complejo estará cerca de [math] \ log (e ^ {2 \ pi i}) = 2 \ pi i \ neq 0 [/ math ] UH oh. La función, como la hemos definido, no es continua.
Uno puede verificar que el camino particular que elegimos no fue el problema. Cada vez que se da la vuelta en un bucle en sentido antihorario alrededor del origen, el valor del logaritmo cambia en [math] + 2 \ pi i [/ math]. (Por el contrario, si da la vuelta en un bucle en el sentido de las agujas del reloj , cambia el valor por [math] – 2 \ pi i [/ math]).
como podemos arreglar esto? Bueno, una forma es simplemente cortar el plano a lo largo de un rayo que comienza en el origen: 
Si eliminamos esos puntos y simplemente definimos el logaritmo complejo en el espacio resultante, no hay oportunidad de recorrer el origen. De hecho, podemos ser mucho más generales y cortar el plano a lo largo de cualquier curva que emana del origen (suponiendo que no se interseque). Esto es, en su forma más simple, un corte de rama.
¿Cuál es el resultado? Ahora podemos definir el logaritmo complejo en cualquier plano cortado adecuadamente. Mejor aún, esta definición resulta ser única: hasta un factor de [math] 2 \ pi ik [/ math] (donde [math] k [/ math] es un número entero). Para decirlo con un poco más de precisión, si tenemos dos funciones [matemática] f, g [/ matemática] tales que:
[matemáticas] e ^ {f (z)} = e ^ {g (z)} = z [/ matemáticas]
(es decir, son inversas de la función exponencial), de hecho, [matemáticas] f (z) = g (z) + 2 \ pi ik [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] k [/ matemáticas]. Las diversas funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] para diferentes opciones de [matemáticas] k [/ matemáticas] se conocen como las ramas del logaritmo.
Aquí es donde se pone interesante. Hay una forma en que podemos combinar todas estas ramas en una sola función. Aquí te explicamos cómo hacerlo. Elija un corte de rama: para simplificar la visualización, seleccionaremos el rayo a lo largo del eje [math] + x [/ math]. Luego, por cada [matemática] k [/ matemática], tome una copia de nuestro plano de corte: 
Definimos el logaritmo en la superficie [matemática] k [/ matemática] como [matemática] \ log (z) + 2 \ pi ik [/ matemática] (donde hemos elegido alguna rama principal del logaritmo para medir todos los demás ramas contra). Ahora, pegamos todas estas piezas juntas; en nuestra imagen, esto correspondería a pegar la tira “inferior” de una rama a la tira “superior” de la rama debajo de ella. Esto nos da una superficie que se ve así (imagen tomada de Wikipedia): 
Lo que está sucediendo es que tenemos un montón de copias de [math] \ mathbb {C} [/ math], pero con la propiedad especial de que si vamos en sentido antihorario alrededor del origen, no terminamos en el mismo lugar , pero en una hoja una capa arriba. Además, tenemos una definición del logaritmo de esta superficie a [math] \ mathbb {C} [/ math], precisamente por esta construcción de “pegar” varias ramas del logaritmo a lo largo de los cortes de las ramas.
Esta es la idea general de puntos de ramificación / cortes. Tiene una función que le gustaría ser holomórfica, excepto que si recorre ciertos puntos, la función no tiene el mismo valor que antes (en términos generales). Pones cortes de rama para detener este extraño comportamiento, y luego puedes pegar varias ramas juntas para obtener una superficie en la que tienes una función holomórfica bien definida.
