Las series convergentes son fáciles de manejar y se pueden realizar muchos tipos de operaciones en ellas, como sumar y restar dos series convergentes, diferenciarlas o integrarlas (en condiciones adecuadas), o incluso extenderlas de alguna manera regular.
Al contrario de las series convergentes, las que son divergentes no pueden manejarse de manera satisfactoria. Pueden venir en dos tipos:
a) las sumas parciales divergen a infinito positivo o negativo: un ejemplo puede ser 1 + 2 + 3 + …
b) la suma parcial no converge a un solo número finito (comportamiento oscilante) – un ejemplo puede ser 1-1 + 1-1 + …
Surge una pregunta natural que pregunta si existe una formulación más general de convergencia que también incluya algunas de las series divergentes. La suma de Cesaro es una de las técnicas más simples para hacerlo. Le permite a uno asignar una suma a muchas series divergentes y tiene el beneficio de que produce la misma respuesta cuando se aplica a series convergentes. Para obtener la suma de Cesaro de una serie, uno simplemente reemplaza la secuencia usual de sumas parciales por la secuencia del promedio de la suma de las primeras n sumas parciales. En otras palabras, la suma de Cesaro de una serie infinita es el límite de la media aritmética (promedio) de las primeras n sumas parciales de la serie, ya que n va al infinito.
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Para los dos ejemplos dados anteriormente, uno puede verificar fácilmente que la suma de Cesaro de 1-1 + 1-1 + … es 1/2, lo cual es un poco intuitivo de esperar. Por otro lado, la serie 1 + 2 + 3 + … ni siquiera es sumable usando el método Cesaro (nuevamente diverge al infinito).
No estoy seguro de una aplicación más amplia de la sumabilidad de Cesaro, pero hay otros métodos de sumabilidad de series divergentes como la regularización de la función zeta y la suma de Abel, entre los cuales, por lo que he escuchado, la regularización de la función zeta se usa en algunos aspectos de física teórica. La regularización de la función Zeta también se usa para asignar un significado definido a –
1 + 2 + 3 +… = -1/12,
que evade el sentido común. Para finalizar, quisiera comentar que es realmente difícil domar series divergentes y reproducir una de las citas de Abel:
“Las series divergentes son un invento del demonio, y es una pena basar en ellas cualquier demostración”.
(Puedo refinar esta respuesta más tarde, preferiblemente látex las ecuaciones).
