Es posible interpretar la serie dada por la recurrencia
[matemáticas] f_ {k} (n) = f_ {k} (n-1) + f_ {k} (nk) [/ matemáticas]
para [matemática] k> 1 [/ matemática] es un número entero y también lo es [matemática] n [/ matemática] con [matemática] f_ {k} (0) = 1 [/ matemática], [matemática] f_ {k} (1) = 2 [/ matemática] y [matemática] f_ {k} (n) = 0 [/ matemática] para [matemática] n <0 [/ matemática].
- ¿Qué actividades extracurriculares ayudan a solicitar las matemáticas en Oxbridge?
- ¿Existe un término para funciones paramétricas encadenadas?
- ¿Qué es el soporte de Dirac en lenguaje geométrico?
- Cómo usar la teoría de juegos (el campo de las matemáticas, no el estudio de los videojuegos) en el diseño de videojuegos
- ¿Cómo puede ser válida la prueba del Último Teorema de Fermat, si se demostró utilizando matemáticas no presentes en el momento de Fermat?
Entonces [math] f_ {k} (n) [/ math] es el número de cadenas binarias de n dígitos de manera que 1s están separadas por al menos [math] k-1 [/ math] 0s.
Vemos que una cadena de longitud n termina en 0 en [matemática] f_ {k} (n-1) [/ matemática] o en 1 en [matemática] f_ {k} (nk) [/ matemática] , de ahí la recurrencia.
También es posible expresar [matemáticas] f_ {k} (n) [/ matemáticas] como una suma de coeficientes binomiales
[matemáticas] f_ {k} (n) = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {i _ {\ text {max}}} \ dbinom {n- (i-1) (k-1)} {i} \ qquad \ blacksquare [/ math]
Donde [math] i _ {\ text {max}} [/ math] está determinado por la propiedad definida [math] \ binom {a} {b} = 0 [/ math] iff [math] a <b [/ math] .
Esta suma representa claramente los casos mutuamente excluyentes donde la cadena binaria de longitud n contiene exactamente 0, 1, 2, 3, … 1s respectivamente.
Por ejemplo, en el caso de [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] f_ {3} (6) = \ dbinom {8} {0} + \ dbinom {6} {1} + \ dbinom {4} {2} = 13 [/ matemáticas]
cuál es el séptimo término en su secuencia de ejemplo como se esperaba. similar
[matemáticas] f_ {3} (8) = \ dbinom {10} {0} + \ dbinom {8} {1} + \ dbinom {6} {2} + \ dbinom {4} {3} = 28 [/ matemáticas]
Etcétera.
