Veo una conexion. No lo había pensado en términos de este principio, pero eso es interesante. He estado buscando cómo pensar en las secuencias como sistemas de entrada-salida utilizando clases de congruencia. A través de este filtro, la salida de los números impares de una secuencia (un superconjunto adecuado de ellos) tiene una distribución completamente regular:
Para una entrada dada [math] n [/ math] hay tres salidas posibles (con ejemplos):
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Operación A: Si [matemática] n + 1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], multiplique por [matemática] \ frac {3} {2} [/ matemática], reste [matemática] 1 [ /matemáticas]
[matemáticas] f (11) = 17 [/ matemáticas]
Operación B: si [matemática] n-1 [/ matemática] es divisible por [matemática] 8 [/ matemática], multiplique por [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática], agregue [matemática] 1 [ /matemáticas]
[matemáticas] f (17) = 13 [/ matemáticas]
Operación C: de lo contrario, multiplique [matemática] n-1 [/ matemática] por [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática]
[matemáticas] f (13) = 3 [/ matemáticas] (A → [matemáticas] 5 [/ matemáticas])
Puede ver que [matemáticas] 1 [/ matemáticas] ocurre dos veces. ¿Y qué? Cada número en la columna B se repite en la columna C (ya que cada número impar está en la columna C).
Sin embargo, para [matemática] 3n + x [/ matemática] donde [matemática] x> 3 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática] aparece solo una vez, en la otra columna. No puede aparecer como miembro de las clases de congruencia * . Esa es la única diferencia perceptible en la secuencia de la salida además de la alineación de entrada y salida que produce resultados completamente diferentes.
Por ejemplo, [matemáticas] 3n + 13 [/ matemáticas]:
donde obtienes un bucle encantador como este para [math] n = 19 [/ math]:
¡Qué diferencia hace [math] 1 [/ math]!
* Puede ser banal, pero para cualquier [matemática] 3n + x [/ matemática] si [matemática] n = x [/ matemática] entonces:
[matemáticas] n + x [/ matemáticas] [matemáticas] \ neq 0 \ mbox {(mod} 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] nx [/ matemáticas] [matemáticas] \ equiv 0 \ mbox {(mod} 8) [/ matemáticas]
Solo para [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] se puede decir que: [matemáticas] 1–1 \ equiv 0 \ mbox {(mod} 8) [/ matemáticas]
