Gracias por el A2A!
La respuesta depende de lo que consideres que son las matemáticas y, por lo tanto, de lo que constituiría un nuevo sistema de matemáticas.
En el sentido de que las matemáticas modernas se basan en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC para abreviar), es posible crear un sistema axiomático diferente que sea capaz de tanto y sea (posiblemente) consistente (como en, no hay forma de demostrar que una afirmación y su negación son ambas verdaderas), y ese sería un nuevo sistema de matemáticas. Un ejemplo de esto es el cálculo Lambda, que es importante en la teoría de la computabilidad, entre otras cosas. Al elegir un conjunto de axiomas y una semántica para interpretar expresiones en este nuevo lenguaje, ha inventado un nuevo sistema de matemáticas.
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En el sentido de que consideramos que las matemáticas son sistemas lógicos axiomáticos, se hace más difícil escapar de esa definición y todavía tener algo que llamar matemáticas. Ian Stewart, al concluir uno de sus libros sobre matemáticas modernas, declaró que si nuestros axiomas fundamentales de las matemáticas fueran inconsistentes, preferiríamos desechar esos axiomas y producir algo nuevo en el primer sentido (luego pasar por el proceso de expresar ” “resultados conocidos en los nuevos términos) que desechar todos los resultados que tenemos. Nos gustan demasiado esos resultados. La razón es que, dadas las formas apropiadas de definir 1, +, = y 2 para que conserven sus significados habituales, nos gusta la idea de que 1 + 1 = 2 y preferiríamos encontrar una nueva forma de expresarlo (en términos de los axiomas de algún modelo) que tener que tirar eso (y la mayoría de las otras cosas). Cualquier cosa que use un sistema de axiomas y reglas de inferencia y semántica es un sistema matemático en el sentido más general, si es lo suficientemente poderoso como para expresar la aritmética. Todo lo que no puede o no puede no lo es.
¿Dónde se traza la línea? Yo diría que, en cierto sentido, cualquier sistema axiomático diferente que pueda expresar aritmética y sea consistente es un nuevo sistema matemático (porque posiblemente podría permitir probar algunas afirmaciones que son indecidibles en el sistema actual, por el contrario, también es probable que tenga afirmaciones indecidibles de propios que son decidibles en el sistema actual), pero en el sentido más general de lo que se trata la matemática, cómo debe hacerse (es decir, qué restricciones hay en el medio mismo) y cómo se emplea, solo hay que las matematicas; Es cualquier sistema que puede hacer ciertas cosas o que se hace de cierta manera.
