Una forma novedosa de abordar el problema es utilizar el cálculo de variaciones. El camino más corto entre dos puntos (en un plano) es una línea recta, el énfasis en la geometría subyacente es importante ya que el camino más corto en una esfera no es una línea recta, sino que son grandes círculos, representados aquí por caminos verdes.
Si se tratara de otra geometría como la de un maní, o una rosquilla, el camino más corto sería diferente.
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Consideremos un camino entre dos puntos en un plano, podría ser recto, podría ser curvo, no importa. La longitud total de la ruta se puede calcular a partir de la integral
[matemáticas] L = \ int_ {1} ^ {2} ds [/ matemáticas]
donde [math] ds [/ math], es la longitud infinitesimal a lo largo de la ruta, es decir, [math] ds = \ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}} = \ sqrt {1+ (\ frac {dy} {dx}) ^ {2}} dx, [/ math] por lo tanto la integral anterior es
[matemáticas] L = \ int_ {1} ^ {2} ds = \ int_ {x (1)} ^ {x (2)} \ sqrt {1+ (\ frac {dy} {dx}) ^ {2} } dx [/ matemáticas]
lo que esto significa es fijar los puntos finales como [matemática] (x (1), x (2)) [/ matemática] y luego buscar una función [matemática] y (x) [/ matemática] a partir de la cual podríamos calcular la longitud total, por ejemplo, uno podría calcular la longitud de la ruta para la función [matemáticas] y = x ^ {2} [/ matemáticas] en el plano. Ahora, lo que podemos hacer es considerar muchas rutas y calcular para cada una de las funciones [matemáticas] L [y (x)], [/ matemáticas] lo que significa que toma entradas como funciones y genera un número, es decir, la longitud de la ruta.
Este es, entonces, el problema para el cálculo de las variaciones, toma una función y lo extremiza, que es precisamente lo que queremos. En particular, se alcanza un extremo para nuestro problema cuando se cumplen las siguientes condiciones
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (\ frac {\ partial f} {\ partial y ‘}) = \ frac {\ partial f} {\ partial y} [/ math]
donde [matemáticas] f = \ sqrt {1+ (\ frac {dy} {dx}) ^ {2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] y ‘= \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] y si utiliza estas condiciones, descubrirá por sí mismo que la ruta para la cual la longitud es mínima es una línea recta.
