¿Por qué no podemos encontrar el símbolo correspondiente para la pregunta “¿Qué es 1 dividido por 0”, si el número i fue desarrollado como respuesta a la pregunta que antes no tenía respuesta “¿Cuál es la raíz cuadrada de -1”?

Cuando agrega una raíz cuadrada de [math] -1 [/ math] a los reales, la estructura resultante es un campo, lo que básicamente significa que la aritmética aún funciona de la manera que usted lo espera. Cuando extiende los reales en [math] \ frac {1} {0} [/ math], la estructura resultante ni siquiera es un anillo, que es lo mínimo que necesita tener para decir que tiene un Noción razonable de suma y multiplicación. Es por eso que generalmente no ampliamos los reales de esta manera.

Editar: [matemáticas] \ frac {1} {0} [/ matemáticas] no es [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]. Vea mi respuesta a Matemáticas: ¿Qué es 1 dividido por 0? Infinito…. o indefinido? para una explicación de por qué esto no funciona.

Puedes hacer eso, pero no sería de mucha utilidad. Te diré cómo.

Desea que algunas propiedades de los números reales se apliquen a ese número, ¿verdad?

Entonces, si 1/0 = a, entonces querrías 0 * a = 1.
entonces 0 * a + 0 * a = 2 => 2 * 0 * a = 2 => 0 * a = 2 => 2 = 1 que obviamente es incorrecto.

Entonces, incluso si tuviera un número 1/0 = a, necesitaría omitir la propiedad 0 * a = 1, porque si incluye esa propiedad, tiene una contradicción.

Y si ni siquiera puede tener esa propiedad, a no es de mucha utilidad.

La única razón por la cual el número imaginario i se desarrolló como una estructura, fue porque era útil, a diferencia de 1/0.

En resumen, porque una simple sustitución como se hizo con el imaginario [math] i [/ math], aunque útil para algunos propósitos, aún no ha dado como resultado cocientes únicos y ha dejado demasiadas operaciones aritméticas sin definir. Y el enfoque que ha producido cocientes únicos no es tan simple. Implica, no la sustitución, sino redefinir la división y la parte [matemáticas] 0 [/ matemáticas] de [matemáticas] 1/0 [/ matemáticas]. Luego se deben hacer otros cambios y ya no es tan simple. Daré una breve descripción de algunos problemas, primero con un ejemplo de sustitución simple y luego con los complicados.

---

Históricamente y aún hoy, la forma más común de definir [matemáticas] 1/0 [/ matemáticas] es simplemente usar el símbolo [matemáticas] \ infty [/ matemáticas] como el cociente. Ejemplos son la Esfera de Riemann y los Números Reales Afines Ampliados. Sin embargo, en realidad definen todos [math] n [/ math], no solo [math] 1 [/ math] para que [math] n / 0 = \ infty [/ math]. El único cociente es [math] \ infty [/ math]. Si solo se definieran [math] 1/0 [/ math], entonces podría haber un cociente único que es lo que desea.

[matemáticas] n (1/0) = n (\ infty) [/ matemáticas]

Posiblemente, la razón por la que esto no se hizo es debido a una regla de multiplicación de la aritmética cardinal transfinita de Cantor donde, como [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] \ infty [/ matemática] simplemente absorbe las Reales. Entonces

[matemáticas] n (\ infty) = \ infty [/ matemáticas]

Cualquiera sea la razón, los cocientes únicos no han resultado de una simple sustitución.

Además de carecer de cocientes únicos, estos cálculos aritméticos no definen bastantes operaciones. Una dificultad radica en definir un recíproco para [math] \ infty [/ math]. Ya sea

[matemáticas] 1 = 0 (\ infty) [/ matemáticas]

que no funciona bien, o

[matemáticas] 1 = (\ frac {1} {\ infty}) (\ infty) [/ matemáticas]

que se ve mejor, pero significa

[matemáticas] 0 = \ frac {1} {\ infty} [/ matemáticas]

lo cual también es problemático. Entonces, como se indicó anteriormente, estas sustituciones simples funcionan, pero con limitaciones.

---

También se ofrecen soluciones menos simples que se centran en cambiar solo la división entre cero partes “[math] / 0 [/ math]”. La teoría de la rueda redefine esto como unario y [math] 0 [/ math] también se define de manera un poco diferente. Wheels tiene “cocientes” únicos y muy poco está indefinido.

Mi propio trabajo también deja muy poco indefinido. El número [math] 0 [/ math] se reemplaza con un nuevo cero basado en un conjunto ausente en lugar del conjunto vacío. La división permanece binaria mientras que el cero se redefine para que 1 / cero se convierta en una fracción compleja. La fracción se simplifica a [math] (1) \ infty [/ math] en lugar de [math] \ infty [/ math] solo. Los nuevos números que son cocientes únicos resultan de

[matemáticas] n (1 \ infty) [/ matemáticas] – [matemáticas] 2 \ infty, 4 \ infty, -10 \ infty [/ matemáticas]

Aquí la definición de [math] \ infty [/ math] es similar a las ideas de Roger Penrose y John A. Wheeler con respecto al “tamaño” en física en lugar de las transfinitas de Cantor.
Para conocer las reglas de álgebra, vea mi publicación en esta discusión del foro matemático y, para mayor profundidad, el artículo sobre mi perfil: Reemplazar 0: una aritmética no euclidiana. Las redefiniciones de cero y [math] \ infty [/ math] nos permiten evitar las dificultades habituales con la multiplicación por cero como se puede ver.

---

Las amplias modificaciones que necesitan ambos sistemas indican que extender los números reales a través de la definición de la división por cero no es tan simple como extender los Reales definiendo [math] \ sqrt {-1} [/ math] como [math] i [/ math] .

Se hace con mucho éxito para los números complejos. Allí se agrega un “número” adicional [matemática] \ infty [/ matemática] al campo, que es el resultado de 1 dividido por cero. Tenga en cuenta que [math] \ infty = – \ infty [/ math]. Por conveniencia, el análisis complejo a menudo se realiza en esa estructura, la “esfera de Riemann” en lugar del plano complejo.

i no es la raíz cuadrada de -1; la raíz cuadrada de -1 es MÁS O MENOS i.

i es un número que, cuando se eleva al cuadrado, da -1. Esto es más estricto y más informativo porque muestra que el origen de i es una operación inversa (raíz cuadrada), donde la operación original (cuadrado) proporciona los requisitos esenciales.

La división es una operación inversa. La multiplicación es la original. Cuando decimos “1/0”, la interpretación estándar es “¿qué número cuando se multiplica por 0 dará 1?”

Si afirma la existencia de dicho número (y puede hacerlo), probablemente tendrá que redefinir la multiplicación.

Desde el punto de vista de la programación informática, un sistema de números debe estar “cerrado” para todos los valores posibles y todas las operaciones. Todas las operaciones deben dar como resultado un número que sea parte del dominio de las operaciones.

En ausencia de esto, tengo que detectar / capturar operaciones que no resultan en un “número”. En lugar de tener una lógica de excepción fuera del flujo normal de un programa, creo que sería mejor poder probar el valor resultante para determinar lo que significa.

La solución más simple ideada hasta ahora, es el valor “nulo”.
Sin embargo, la palabra “nulo” se ha usado de muchas maneras diferentes.
El problema es que en diferentes contextos, a veces nulo está cerca
al valor de “cero”, y en otras ocasiones no lo es. En lógica a veces
parece significar “falso”.

Como programador, consideraría definir un conjunto de “constantes” (valores) especiales que resultan en un entorno más constante. Por ejemplo, considere el valor “nulo”. En algunos casos significa “no sé”. En otros casos significa “no se suministra ningún valor”. Hay una sutil diferencia entre estos
Dos conceptos.

Ofrezco este comentario en relación con la pregunta 1/0, porque tengo que lidiar con esta posibilidad. Quizás un valor especial pueda resolver esta pregunta. Y las reglas resultantes serían más “consistentes” si se trataran más como si manejáramos “nulo”. Sin embargo, la constante debe verse como distinta de “nulo”.

Solo algunas reflexiones desde el punto de vista de un programador.

Un resumen de lo que dice la gente es: “Hemos creado un símbolo así, simplemente no has oído hablar de él, porque es menos útil que yo y, por lo tanto, se habla menos”.

Además de la teoría de la rueda como describe Daniel McLaury, está la esfera de Riemann, donde [matemáticas] \ frac {1} {0} [/ matemáticas] se define como [matemáticas] \ infty [/ matemáticas], como lo es [matemáticas] \ frac {z} {0} [/ math] para cualquier número complejo [math] z \ ne 0 [/ math], dejando [math] \ frac {0} {0} [/ math] indefinido. Esto también falla al definir expresiones como [math] 0 \ cdot \ infty [/ math] y [math] \ infty – \ infty [/ math], y en general no se comporta de la forma en que queremos que los números sean intuitivamente comportarse (a diferencia de los números complejos, que lo hacen), pero a veces es útil para análisis complejos.

Regrese a la definición de división. a = b / c significa que ac = b.

Para c = 0, esto se convierte en a = b / 0 significa que a0 = b. Por lo tanto b = 0 y a = 0/0 independientemente de a.