¿Cuál es la intuición detrás de elevar un número a una potencia fraccional?

¿Qué es la exponenciación? Claro, es una multiplicación repetida, entonces [matemáticas] 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 [/ matemáticas], pero ¿qué significa este modelo? ¿Qué tipo de problemas resuelve? Queremos tomar algo como [matemática] 2 ^ x [/ matemática] y preguntar cuál es para cada valor de [matemática] x [/ matemática], entonces, ¿qué sucede cuando cambiamos [matemática] x [/ matemática]?

Exponentes como este representan algo que crece más rápido cuanto más hay, como el dinero en un banco. El dinero en un banco genera intereses, y cuanto más dinero tenga, más intereses ganará. (Nota técnica: necesita crecer más rápido proporcionalmente a la cantidad que tiene. El doble de dinero significa que gana intereses exactamente el doble de rápido. También estamos imaginando que su tasa de interés no cambia a medida que pasa el tiempo).

Después de quizás 12 años, su dinero en el banco se duplica. Después de 24 años, se duplica nuevamente a cuatro veces la cantidad original. Después de 36 años, se duplicó tres veces para llegar a ocho veces el original. Una ecuación para tu dinero es

[matemáticas] M = P 2 ^ x [/ matemáticas]

donde [math] P [/ math] es el principal: el dinero con el que comenzó y [math] x [/ math] es el número de duplicaciones. Para facilitar las cosas, digamos que comienza con $ 1, entonces [math] P = \ $ 1 [/ math] y lo ignoraremos de ahora en adelante.

Su dinero crece continuamente, no solo espera doce años, sino que de repente se duplica. Los exponentes fraccionales nos permiten calcular cuánto dinero tiene en los tiempos intermedios.

Representemos el tiempo por [math] t [/ math], que es en años. Entonces el número de duplicaciones es [matemática] t / 12 = x [/ matemática], entonces su dinero es

[matemáticas] M = 2 ^ {t / 12} [/ matemáticas]

Si podemos calcular cuánto dinero tiene en un momento dado, hemos descubierto exponentes fraccionarios. Elija seis años, a mitad de camino de la primera duplicación. Comienzas con $ 1, y después de doce años tienes $ 2, entonces a los seis años, ¿tienes $ 1.5?

No, y la razón es que su dinero crece de la misma manera que pasa el tiempo. Si se multiplica por 1.5 en los primeros seis años, se multiplicaría por 1.5 en los próximos seis años y tendría [matemática] 1.5 * 1.5 = 2.25 [/ matemática] dólares después de doce años, lo cual es incorrecto.

En cambio, después de seis años, el dinero que tiene es [matemática] \ sqrt {2} = 1.414… [/ matemática] dólares. De esa manera, cuando pases otros seis años, multiplicas por [math] \ sqrt {2} [/ math] nuevamente y tu dinero total es [math] \ sqrt {2} * \ sqrt {2} = 2 [/ math] dolares

En términos de nuestra ecuación, conectamos [matemática] M = \ sqrt {2} [/ matemática] y [matemática] t = 6 [/ matemática] para encontrar

[matemáticas] \ sqrt {2} = 2 ^ {6/12} = 2 ^ {1/2} [/ matemáticas]

Entonces, una potencia de 1/2 significa una raíz cuadrada.

Intenta pensar en lo que sucede después de solo cuatro años y después de tres, dos y un años. Si sigue esto, verá que una potencia de 1/3 significa tercera raíz, 1/4 significa cuarta raíz, etc. En general, una potencia de [matemáticas] \ frac {1} {n} [/ matemáticas ] significa la raíz [matemática] n ^ {th} [/ matemática] de un número.

¿Qué hay de otras fracciones? Si deja que su dinero crezca durante ocho años, déjelo crecer durante cuatro años más, eso es lo mismo que dejar que crezca durante doce años consecutivos. Esto nos da la regla

[matemáticas] 2 ^ {8/12} * 2 ^ {4/12} = 2 ^ {12/12} [/ matemáticas]

o en general

[matemáticas] 2 ^ a * 2 ^ b = 2 ^ {a + b} [/ matemáticas]

que probablemente ya sepa por la forma en que funciona con enteros, donde

[matemáticas] (2 ^ 3) * (2 ^ 2) = (2 * 2 * 2) * (2 * 2) = 2 ^ 5 [/ matemáticas]

pero ahora la regla tiene una interpretación simple en términos de crecimiento.

Esta regla nos permite evaluar todas las demás fracciones, porque algo como [matemáticas] 2 ^ {17/3} [/ matemáticas] significa [matemáticas] 2 ^ {1/3} [/ matemáticas] veces 17 veces, y ya entendemos [matemáticas] 2 ^ {1/3} [/ matemáticas].

¿Qué es algo para la potencia cero? Bueno, si dejas tu dinero en el banco por tiempo cero, no crece ni se contrae, así que

[matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

¿Qué hay de los poderes negativos? Eso va hacia atrás en el tiempo. Si tiene un dólar ahora, pero lo invirtió hace doce años, ¿cuánto invirtió? Medio dólar, ya que se duplicó una vez y se convirtió en un dólar. Por lo tanto

[matemáticas] 2 ^ {- 1} = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

y puedes confirmar que

[matemáticas] 2 ^ {- n} = \ frac {1} {2 ^ n} [/ matemáticas]

para cualquier número

Todo lo que hemos hecho aquí con [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] funciona perfectamente con otros números, como [matemáticas] 3 ^ x [/ matemáticas] o [matemáticas] 5.29 ^ x [/ matemáticas], ya que ‘ solo estaría hablando sobre cuánto tiempo le toma a su dinero multiplicarse por 3 o 5.29 en lugar del tiempo de duplicación.

Eso es todo. Ahora comprende cómo usar cualquier exponente que desee, incluidas fracciones y números negativos. Sin embargo, debe asegurarse de que la base de su exponente sea positiva, porque algo como [matemática] (- 1) ^ {1/2} [/ matemática] es la raíz cuadrada de -1, que no existe a menos que traer el complejo sistema de números, que es mejor dejarlo para otro momento.

Cuando aprendió por primera vez sobre la exponenciación, probablemente se definió algo en la línea de,

Para números enteros [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], [matemática] a ^ b [/ matemática] es igual a [matemática] a \ veces a \ veces \ puntos \ veces a [/ matemática], donde la multiplicación se repite [matemática] b [/ matemática] veces.

A partir de aquí, podemos probar muchos hechos sobre la exponenciación que terminan siendo bastante importantes. Por ejemplo, es fácil mostrar que [matemáticas] a ^ ba ^ c = a ^ {b + c} [/ matemáticas], o que [matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {bc} [/ matemáticas] (deberías intentar probar esto).

Ahora, está bastante claro que esta operación no está definida cuando [math] b [/ math] no es un número entero (de hecho, estrictamente hablando, no está definido cuando [math] a [/ math] tampoco es un número entero ya que lo definí solo para números enteros, pero la extensión al caso donde $ a $ no es un número entero es lo suficientemente intuitiva). Los números fraccionales simplemente no corresponden a contar de manera natural, por lo que no tiene sentido hablar de multiplicar [math] a [/ math] por sí mismo [math] \ frac {3} {2} [/ math] veces.

Lo que a menudo se pasa por alto cuando se le enseñan estas cosas es que para exponer por una fracción, debe redefinir por completo la operación de exponenciación, de modo que la definición en sí misma le permita conectar números no enteros (por cierto, lo mismo ocurre, para elevar un número a una potencia negativa).

Cualquiera sea la definición que elijamos para [matemática] a ^ b [/ matemática] donde [matemática] b [/ matemática] ya no se requiere que sea un número entero, nos gustaría que tenga la propiedad de que concuerda con la definición anterior siempre que [matemáticas] b [/ matemáticas] es un número entero. Además, nos gustaría preservar las propiedades algebraicas de la operación, de modo que, por ejemplo, aún tenga que [math] a ^ {b + c} = a ^ ba ^ c [/ math]. Pero esto, por sí solo, nos obliga esencialmente cuando elegimos una nueva forma de definir la exponenciación: en realidad, solo hay una manera de hacerlo de modo que se satisfaga esta restricción. Para ver esto, intentemos usar esta propiedad para determinar cuál debería ser el valor de [math] 27 ^ {1/3} [/ math]. Bueno, cualquiera que sea el valor que nuestra definición asigne a [matemáticas] 27 ^ {1/3} [/ matemáticas], será mejor que sea cierto que [matemáticas] (27 ^ {1/3}) ^ 3 = 27 ^ {1/3 } \ times 27 ^ {1/3} \ times 27 ^ {1/3} [/ math], ya que eso es lo que significa elevar un número a una potencia de número entero. Pero por la propiedad de que [matemáticas] a ^ {b + c} = a ^ ba ^ c [/ matemáticas], se deduce que [matemáticas] 27 ^ {1/3} \ veces 27 ^ {1/3} \ veces 27 ^ {1/3} [/ math] debe ser igual a [math] 27 ^ {1/3 + 1/3 + 1/3} = 27 ^ 1 = 27 [/ math]. Bueno, hay exactamente un valor que podemos asignar a [matemáticas] 27 ^ {1/3} [/ matemáticas] de modo que se mantenga, y eso es 3. Entonces, estas dos restricciones nos obligan a hacer [matemáticas] 27 ^ { 1/3} = 3 [/ math]: si no lo hiciéramos, entonces no estaría de acuerdo con la definición existente de exponenciación.

Podemos aplicar este mismo argumento para cualquier fracción arbitraria [matemática] 1 / n [/ matemática], donde [matemática] n [/ matemática] es un entero positivo. Simplemente observe que para cualquier [matemática] a [/ matemática], [matemática] (a ^ {1 / n}) ^ n [/ matemática] debería ser igual a [matemática] a ^ {1 / n + 1 / n + \ dots + 1 / n} [/ math] donde la suma se realiza [math] n [/ math] veces. Esto nos obliga a definir [matemáticas] a ^ {1 / n} = \ sqrt [n] {a} [/ matemáticas].

A partir de aquí, es solo un salto, un salto y un salto para mostrar que [matemáticas] a ^ {b / c} = (\ sqrt [c] {a}) ^ b [/ matemáticas]. Te lo dejo a ti. También debería ver si puede usar el mismo argumento para descubrir lo que debería significar elevar un número a una potencia negativa. Lo que es realmente difícil es descubrir qué deben significar los poderes de los números irracionales, pero eso probablemente debería dejarse para otra pregunta.

Muy simple:

• Sabemos que si elevas algo a un poder, lo multiplicas por sí mismo, eso muchas veces: [matemáticas] 3 ^ 3 = 3 * 3 * 3 = 27. [/ Matemáticas]
• Si subes algo a una potencia que ya se ha elevado a una potencia, la regla es que puedes multiplicar esos exponentes juntos.

Por ejemplo, si observa [matemáticas] (2 ^ 2) ^ 3 [/ matemáticas]:

(2 ^ 2) ^ 3 = (2 ^ 2) * (2 ^ 2) * (2 ^ 2) = 2 ^ 6 = 2 ^ (2 * 3)

• Sabemos que cualquier número entero puede expresarse como una fracción. Elija 1 = 3/3 (por supuesto, 1 = 2/2 = 100/100 … de hecho, es un número infinito de fracciones, pero vamos a usar esto como ejemplo).

Entonces 2 ^ 1 = 2 ^ [3 * (1/3)] = (2 ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3)

Y así es como podemos ver que una potencia fraccional es lo mismo que tomar la “raíz” de un número.

Piense en un cubo pequeño, tres unidades en un lado. Ahora imagine colocar dos más al lado para formar una línea, y dos más para formar una L. Rellene el espacio entre ellos, luego apile dos más de esas cosas rellenas planas una encima de la otra.

Ahora piense en el cubo original en la esquina como naranja, y el resto negro. La relación en volumen entre el naranja y el negro es el cubo – 3 ^ 3.

Ahora piense en dibujar líneas para representar cubos más pequeños dentro del negro. ¿Cómo representar el volumen de esos? obviamente es una fracción del negro grande, por lo que una fracción del exponente “3”.

Como puede mover esas líneas a cualquier lugar dentro del volumen, para obtener cualquier volumen que elija, puede elegir un volumen correspondiente a cualquier valor del exponente (menos de 3), incluidas todas las fracciones. De eso se trata el poder de una fracción: representar valores entre los que obtienes con enteros.

(Algunas personas que responden a esto tienen un concepto muy extraño de la palabra “intuitivo”).

Es útil vincularlos a las fracciones, particularmente a las fracciones agregadas, como la utilizada por Fibonacci.

Supongamos que 10 está representado por un metro. Luego hay un número cuya décima potencia es 10, es decir, d ^ 10 = 10. Los x dm individuales se escriben como d ^ x. Entonces se puede encontrar c ^ 10 = d, y dar los centímetros como c ^ y para y cm. Y asimismo m ^ 10 = c, da milímetros.

Entonces, para un número, una longitud xyz, que podría representar una potencia de milímetros m ^ xyz, o centímetros c ^ xy.z, o decímetros d ^ x.yz o metros 10 ^ 0.xyz.

Las fracciones pueden cambiar, y puede profundizar hasta n ^ 10 = m, etc., pero la noción explica tanto los decimales como los poderes fraccionales de una sola vez,

como se ha dicho muchas veces. 1 / x es el inverso de x. y * x * 1 / x = y

Una potencia es una serie de multiplicaciones y, por lo tanto, sigue reglas similares, (y ^ x) ^ (1 / x) = y

El poder fraccional significaría intuitivamente que debe expresarse nuevamente y que la tasa de crecimiento en sí misma debe expresarse en términos de una raíz de sí misma o una tasa menor.

Eso significaría intuitivamente que la tasa de crecimiento real es una raíz de ese número.

(x ^ m) ^ (1 / m) = x ^ (m * (1 / m)) = x ^ 1 = x. Por lo tanto, x ^ (1/2) debe ser una operación que cancele x ^ 2. Entonces x ^ (1/2) es sqrt (x). Y así sucesivamente.

Estoy (algo) sorprendido de que nadie mencione logaritmos y sus usos. Mi primera computadora era analógica, no digital. Era una regla de cálculo “log-log decitrig”, que todavía tengo.

Multiplicación al sumar mecánicamente exponentes:

(a = 10 ^ x) * (b = 10 ^ y) = 10 ^ (x + y)

simplificado enormemente resolviendo muchos problemas