La asociatividad es esencial para dos aplicaciones importantes de la teoría de categorías: la hipótesis de la homotopía y la representabilidad.
La hipótesis de la homotopía dice que los grupoides más altos son tipos de homotopía más altos, y los morfismos corresponden a los caminos. Geométricamente, la concatenación de caminos es fundamentalmente asociativa módulo de homotopía. Es extremadamente difícil concebir un caso en el que esto pueda fallar sensiblemente, y se comporta muy bien como un axioma por razones geométricas.
Por otro lado, la teoría de categorías se ocupa mucho de la representabilidad y las construcciones universales. Todo esto gira en torno al lema de Yoneda, y el lema de Yoneda depende en gran medida de la asociatividad (¡y eso es todo!). Si intenta probar el lema de Yoneda sin ninguna pista, creo que lo verá. Es necesario para la naturalidad de las transformaciones inducidas entre representables.
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¡Me encanta esta pregunta! Es lo que me llevó a examinar la asociatividad en un nivel más profundo, y estoy muy contento de que lo hayas preguntado aquí.
