Puede verse como construido sobre otras tres reglas de diferenciación, si eso ayuda:
- la regla de la cadena
- la regla del producto
- [matemáticas] (\ frac {1} {x}) ‘= \ frac {-1} {x ^ 2} [/ matemáticas]
La regla de la cadena es quizás la más importante de todas. Su prueba es sencilla:
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Es decir, simplemente multiplique la derivada con [math] \ frac {\ mathrm du} {\ mathrm du} [/ math] e intercambie los numeradores.
También se puede expresar como: [matemáticas] (g (f)) ‘(x) = g’ (f (x)) * f ‘(x) [/ matemáticas]
La prueba de la regla del producto.
[matemáticas] (fg) ‘(x) = (f’g) (x) + (fg’) (x) [/ matemáticas]
es un poco más complicado:
(Tenga en cuenta que también podría introducir [math] -f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) [/ math] en su lugar, en el numerador, lo que daría el mismo resultado).
En cuanto a [matemáticas] (\ frac {1} {x}) ‘[/ matemáticas]:
[matemáticas] \ lim_ {h \ to \: 0} \ frac {{\ frac {1} {x + h}} – {\ frac {1} {x}}} {h} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {h \ to \: 0} \ frac {\ frac {x- (x + h)} {x (x + h)}} {h} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {h \ to \: 0} \ frac {\ frac {-h} {{x ^ 2} + hx}} {h} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {h \ to \: 0} \ frac {-1} {{x ^ 2} + hx} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {-1} {x ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora, finalmente, podemos combinar los tres:
[matemáticas] (\ frac {f} {g}) ‘(x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (f * {\ frac {1} {g}}) ‘(x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (f ‘* {\ frac {1} {g}}) (x) + (f * {\ frac {1} {g}}’) (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (f ‘* {\ frac {1} {g}}) (x) + (f * {\ frac {-1} {g ^ 2}} * g’) (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = ({\ frac {f ‘} {g}} * {\ frac {g} {g}}) (x) – (\ frac {f * g’} {g ^ 2}) (x) [/matemáticas]
[matemáticas] = (\ frac {{f’g} – {fg ‘}} {g ^ 2}) (x) [/ matemáticas]
