Encontrar un isomorfismo significa reconocer que le has dado dos conjuntos de nombres a la misma colección de cosas. Dicho de otra manera, es una analogía muy precisa.
Los espacios vectoriales son grandes, por lo que usaré algo mucho más pequeño: el grupo cíclico de orden 2 (http://en.wikipedia.org/wiki/Gro…), o como algunos saben, el grupo simple finito de orden 2 :
Ya estás familiarizado con este grupo, incluso si nunca has estudiado teoría de grupos. De hecho, estás familiarizado con dos versiones:
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- “Par” y “Impar” bajo adición
- “Positivo” y “Negativo” bajo multiplicación.
Estos son dos conjuntos de nombres para la misma cosa, a saber, el grupo cíclico de orden 2. Simplemente escriba todo explícitamente: sabe que Even + Even = Even, Even + Odd = Odd y Odd + Odd = Even. De manera similar, usted sabe que Positivo x Positivo = Positivo, Positivo x Negativo = Negativo y Negativo x Negativo = Positivo. Si comienza con el primer conjunto de identidades y reemplaza
- “Incluso” con “Positivo”
- “Extraño” con “Negativo” y
- “+” con “x”
obtienes el segundo conjunto de identidades, y viceversa. Este es un isomorfismo.
(Ejercicio: haga lo mismo con el conjunto de números reales positivos bajo multiplicación y el conjunto de números reales bajo suma. Ambas direcciones de este isomorfismo son operaciones familiares; ¿cuáles?)
Los matemáticos están familiarizados con varias otras versiones del grupo cíclico de orden 2, incluidas, entre otras, las siguientes:
- El grupo de signos de permutaciones (http://en.wikipedia.org/wiki/Par…)
- El grupo O (1) de rotaciones y reflexiones en 1 dimensión (http://en.wikipedia.org/wiki/Ort…)
- El grupo fundamental de SO (3) (http://en.wikipedia.org/wiki/Fun…, http://en.wikipedia.org/wiki/Pla…). Este grupo es, en cierto sentido, responsable de la existencia de bosones y fermiones.
Es una habilidad fundamental poder reconocer cuando dos cosas son isomorfas: si ya está familiarizado con una de ellas, entonces ya sabe cómo se comporta la otra. Si no buscaras isomorfismos en todas partes, simplemente estarías reinventando constantemente la rueda, estudiando las mismas cosas una y otra vez con diferentes nombres. Sería como ir a un país diferente y no traducir ninguna de las palabras que escuchas.