El álgebra conmutativa es la teoría de los anillos donde la multiplicación satisface la propiedad conmutativa. En la práctica, muchos anillos satisfacen esta propiedad. En particular, las álgebras polinomiales y sus cocientes sí. Estos son los anillos de funciones en variedades algebraicas que resultan ser importantes porque muy a menudo los objetos matemáticos interesantes se pueden definir en términos de ecuaciones polinómicas. Una de las grandes ideas de las matemáticas del siglo XX, elaborada sucesivamente por varios matemáticos brillantes que comienzan con Gelfand y Grothendieck, es comprender realmente un “espacio” (dejando la definición de este término intencionalmente vaga, pero conceptualmente quiero decir “algo que tiene forma y estructura “) equivale a comprender con precisión la estructura de” funciones razonables desde el espacio hasta los números “. Cuando define “razonable” como definible (localmente) por ecuaciones polinómicas, lo cual es una definición muy natural, ¡especialmente desde una perspectiva computacional! – terminas dándote cuenta de que la geometría se trata de comprender el comportamiento de las álgebras polinomiales conmutativas y sus cocientes, es decir, el dominio del álgebra conmutativa clásica. Desarrollos importantes en geometría se han desarrollado “importando” ideas puramente algebraicas; viceversa, la geometría ha llevado a nuevas ideas algebraicas.
Creo que hay un sentido en el que uno puede ver el álgebra conmutativa como el estudio de la geometría “normal”, mientras que el álgebra no conmutativa es de naturaleza inherentemente “extraña” o “cuántica”; Básicamente, si piensa en las funciones en un espacio como posibles medidas, entonces el comportamiento “normal” es que medir X y luego medir Y debería producir los mismos resultados que medir Y luego medir X. Hoy en día estamos acostumbrados a la idea de que esto es no cómo funciona la naturaleza; la mayoría de los observables no viajan entre sí. Pero en un límite clásico, lo hacen, por lo que tenemos tales intuiciones en primer lugar. Entonces, con respecto al mundo físico, el álgebra conmutativa no es solo un buen punto de partida matemático para desarrollar la teoría de los anillos, es una * aproximación * teóricamente sólida a una realidad más rica, quizás no conmutativa.
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