Puede interesarle saber que Δy / ∆x para alguna función particular f es solo la pendiente de la línea secante a través de algunos puntos x₁ y x₂ .
Tome f (x) = ln (x) en el intervalo [1, e] y calcule ∆y / ∆x = (f (x₂) -f (x₁)) / (x₂-x₁) = (1-0) / (e-1) = 1 / (e-1) .
Ahora, dices que dy / dx ≠ ∆y / ∆x , lo cual es cierto en general. Pero, resulta que en un intervalo [a, b] , existe algún valor c∈ (a, b) tal que f ‘(c) = (f (b) -f (a)) / (ba) , esto es lo que dice el teorema del valor medio. Tenga en cuenta que lo que se describe como (f (b) -f (a)) / (ba) puede expresarse como
∆y / ∆x = (f (x₂) -f (x₁)) / (x₂-x₁) , o en palabras, el cambio en y dividido por el cambio en x .
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Nuevamente, mire f (x) = ln (x) en el intervalo [1, e] . Encontramos que ∆y / ∆x en el intervalo [1, e] es 1 / (e-1), esto es simplemente la pendiente de la línea secante de f (x) a [1, e] . El teorema del valor medio establece que existe algún valor c∈ (1, e) tal que
f ‘(c) = 1 / (e-1), o 1 / c = 1 / (e-1) . Es evidente que c = e-1 (tenga en cuenta que f ‘(c) es simplemente una notación diferencial diferente utilizada para escribir dy / dx evaluada en x = c ). Lo que hemos encontrado es que en el intervalo [1, e] , la línea tangente a f en x = e-1 es paralela a la línea secante de f en el intervalo [1, e].
Examine las gráficas de f (x) = ln (x) , la línea tangente a f en x = e-1 y la línea secante de f a través del intervalo [1, e] .
Entonces, mientras que para la mayoría de los casos dy / dx ≠ ∆f / ∆x , el Teorema del valor medio establece claramente lo contrario, tal como hemos ilustrado anteriormente.
