¿La música y las matemáticas tienen “padres” comunes? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Al escuchar música, las personas pueden preguntarse cosas como:

¿Qué hace que esto suene agradable?
¿Por qué ese sonido en particular es abrasivo?
¿Por qué parecía que esa canción había terminado antes de lo que debería haber sido?

Existe un debate interminable, tanto académico como informal, acerca de qué parte de nuestra percepción musical es cultural / subjetiva (nutrición) y qué parte es física / objetiva (naturaleza). La suposición a veces parece ser que ciertos factores son subjetivos mientras que otros son objetivos; la realidad es probable que haya un poco de cada uno ligado a cada aspecto de la música, de modo que puede tener poco sentido discutir sobre ello.

Al examinar las propiedades físicas y los comportamientos del sonido musical, y al comparar las músicas de diferentes culturas para buscar puntos en común y universales, hemos aprendido una cosa con certeza: la música y las matemáticas están definitivamente relacionadas, y es donde está esa relación. Es más claro que tendemos a discernir percepciones y hábitos compartidos entre tradiciones musicales culturalmente autónomas.

Creo que hay dos áreas principales de relación que están entrelazadas, pero no son lo mismo:

Los tonos musicales son producidos por la vibración oscilatoria, que está sujeta a fenómenos físicos y leyes que pueden describirse matemáticamente. ( El sonido musical como fenómeno físico es, en cierta medida, una manifestación de relaciones matemáticas relativamente simples ) .
Las estructuras musicales como el ritmo y la forma tienden a ser matemáticamente proporcionadas y autoconsistentes o incluso recursivas. ( Las elecciones realizadas en la creatividad musical reflejan proporciones matemáticas simples, particularmente en las relaciones entre partes y totalidades con respecto al flujo temporal de la música. Es decir, la proporción es parte de la estética de la organización de eventos musicales en el tiempo -espacio, al igual que en la organización del espacio geométrico en el arte visual o la arquitectura ) .

(Boecio, De Institution Musica , 6 ° c. CE, en una edición del siglo XIX)

Al filósofo helénico Pitágoras de Samos (ca. 570 – 495 a. C.) a menudo se le atribuye el descubrimiento de las proporciones matemáticas ejemplificadas por los tonos musicales. Si bien su pensamiento ciertamente influyó en Platón y Aristóteles, de quienes la teoría musical europea desciende en una línea bastante directa a través del filósofo Boecio, es casi seguro que Pitágoras “descubrió” o “inventó”. Los textos antiguos de Sumer, por ejemplo, han demostrado que las culturas anteriores a la Grecia clásica pensaban en los intervalos musicales en términos matemáticos y cuantitativos.

¿Cómo es el sonido musical una manifestación de las matemáticas?

El sonido es la percepción de ondas mecánicas producidas por la oscilación de un cuerpo vibrante y luego propagadas a través de un medio como el aire. El cuerpo vibratorio que produce un tono musical puede ser una cuerda, una pieza de madera o metal, una columna de aire dentro de una bocina o el cono de un altavoz, entre otras posibilidades.

Una cuerda no vibra mecánicamente cuando está en reposo, por supuesto. Pero perturbe su sueño al arrancarlo, y crea una onda estacionaria a lo largo del cuerpo de la cuerda a medida que la cuerda oscila bajo la influencia de la fuerza restauradora que busca regresar al equilibrio, descansar.

La física puede describir esta onda en términos de amplitud, que explica el volumen, así como la frecuencia, que explica el tono percibido: cuán “alto” o “bajo” es el tono.

Las relaciones entre los tonos musicales, es decir, las frecuencias de los sonidos musicales, están ligadas a la serie armónica inherente a la onda estacionaria:

( Los primeros siete miembros de una serie armónica, o serie de armónicos, de una cuerda vibrante, con las relaciones mostradas como recíprocas o longitudes vibratorias )

Esta serie, en contextos puramente musicales, a menudo llamada serie de armónicos, describe la relación entre el tono fundamental resultante de la vibración del cuerpo como un todo, y las vibraciones subsidiarias de las porciones fraccionarias del cuerpo junto con el todo. Cuando toca la cuerda E baja en una guitarra, la E que escucha es el resultado de la cuerda entera vibrando en una onda estacionaria a lo largo de su longitud desde el puente hasta la tuerca del instrumento; pero un todo se compone de dos mitades, así como tres tercios , cuatro cuartos , etc. Lo que percibimos como un solo tono es en realidad la manifestación física de una serie de identidades fraccionarias. La intensidad o debilidad de cada una de estas identidades en el sonido es, en gran medida, lo que define el timbre o el color del sonido del instrumento y nos permite distinguir el sonido de una guitarra, por ejemplo, del de un piano.

Si pudieras tomar esa cuerda de guitarra y hacerla exactamente la mitad de lo que es, entonces sonaría el siguiente tono en la serie de armónicos (2/1). La frecuencia de la vibración producida por la cuerda más corta sería exactamente el doble que la producida por la cuerda más larga: la relación entre la longitud de vibración y la frecuencia es directamente proporcional, en otras palabras.

Curiosamente, aunque el tono producido en 2/1 será, por supuesto, diferente del tono 1/1, dos veces “alto” en términos de valores de frecuencia, percibirá el tono 2/1 no como un tono completamente diferente, sino como una versión superior del mismo tono . (Naturaleza / debate de debate: GO .) Es por eso que solo siete nombres de letras de tono en la nomenclatura occidental – A – G, o hacer a través de ti en solfeo – son suficientes para describir las identidades de tono de las 88 teclas en un teclado de piano con la ayuda de objetos punzantes y pisos. Las frecuencias de todos los As están en una relación de 2/1 o algún múltiplo de ella: la A arriba de C central es de 440 Hz en sintonización estándar, mientras que la siguiente A abajo está a 220 Hz y la siguiente A arriba está a 880. Duplicar el La frecuencia de un tono, entonces, produce un sonido suficientemente similar al fundamental para calificar como una encarnación diferente del mismo tono.

Si hiciéramos la cuerda de guitarra con la que comenzamos solo un tercio de su longitud original, produciría el tono con una frecuencia tres veces mayor que la original (3/1). Este intervalo musical en relación con el tono original se llama el quinto perfecto y sería el tono B si el tono original fuera E. 3/1 no es una relación tan simple como 2/1; entonces notará que hemos pasado de la relación más simple posible, 1/1, que se percibe como el unísono musical, a una relación ligeramente menos simple, 2/1, que se percibe como el mismo tono en una octava diferente, a una relación aún menos simple, 3/1, que se percibe como un tono completamente diferente.

Cuando llegamos a 4/1 no complicamos más las cosas, ya que es un simple múltiplo de 2/1 y, por lo tanto, produce un tono dos octavas por encima del fundamental: si el fundamental es una E, entonces 2/1 y 4/1 son ambos E también.

Sin embargo, la relación 5/1 es considerablemente más compleja ya que no puede obtenerse mediante una simple operación multiplicativa en los enteros 1, 2, 3 o 4; por lo tanto, la relación 5/1 agrega otro tono nuevo a nuestro vocabulario, el tono que se encuentra un tercio mayor por encima del fundamental: G-sharp si el tono fundamental es E.

Al movernos a través de estas relaciones armónicas simples, hemos generado los siguientes tonos a partir del fundamental proporcionado por la cadena E:

Esperemos que ahora pueda tener una idea de la base matemática íntima de la percepción del tono. Pero podemos ir más abajo si lo desea.

Truncar todos los tonos que hemos obtenido hasta ahora en un solo acorde produce:

que es una tríada mayor de E (acorde).

El acorde mayor es un sonido estable en la armonía occidental, descrito como una consonancia . Pero este no fue siempre el caso a lo largo de los siglos; Hubo un tiempo, hace siglos, cuando el G-sharp incluido en este acorde no habría sido considerado tan indiscutiblemente una consonancia. En un momento, el lanzamiento de 5/1 fue, por así decirlo, un poco demasiado lejos en la serie de armónicos para la comodidad. Solo 1/1, 2/1 y 3/1 y sus múltiplos se permitieron como perfectamente estables y libres de tensión.

Continuando nuestra aventura a lo largo de la serie de armónicos, podemos pasar sin incidentes por la relación 6/1, ya que es un múltiplo de 3/1; ambas relaciones producirán una B en alguna octava, donde 1 es E. Obtendremos un cuarto tono para trabajar con 7/1, sin embargo, ya que 7 es primo: es el tono que se encuentra en el intervalo de un séptimo menor por encima del fundamental – eso es D, si el fundamental es E.

Agregar a este chico a nuestra colección nos da:

que describimos como un acorde E 7 .

Durante la mayor parte de la historia reciente de la música occidental, es decir, aproximadamente desde finales del siglo XVI y principios del XVII, el séptimo acorde ha sido una entidad disonante , una inestabilidad, lo opuesto a una consonancia. Incluso después de que 5/1 se aceptara como una consonancia, incluso el tono 7/1 se consideraba “ir demasiado lejos”, lo que resultaba en un acorde percibido como disonante y, por lo tanto, exigía la resolución de un acorde más consonante y estable compuesto de relaciones de frecuencia más simples. La tensión generada por el séptimo acorde dominante en una clave dada no se consideraba totalmente indeseable, ya que este ciclo de tensión y liberación, disonancia y consonancia es una forma práctica de crear una narrativa musical lógica. Pero se consideró que requería resolución: no tienes que irte a casa, chico, pero no puedes quedarte aquí.

La patada es esta: ¿a qué acorde quiere resolver específicamente este acorde E7?

Quiere resolverse a un acorde estable con el tono fundamental de A. Notarás que el tono A aún no ha aparecido en nuestra serie armónica construida sobre E – es muy, muy por debajo de la línea y estaríamos aquí toda la noche recibiendo ¿De qué sombrero de mago sacamos A como la resolución del inestable E7?

En la serie de armónicos construida sobre el tono fundamental A, E es el primer tono al que llegamos (3/1) que no es un desplazamiento al unísono u octava de A en sí mismo:

Entonces, en términos de la serie armónica, el acorde E7 busca la resolución de la tonalidad en la que E está tan cerca del tono fundamental como puede llegar sin tener que soportar esa carga por más tiempo. En el contexto de la clave de A, la tríada de E mayor, incluso sin el 7 agregado, generalmente sugerirá un movimiento inminente al tónico o “acorde de inicio” de A, pero la adición de D, el tono 7/1, es muy importante intensifica esa sugerencia de una manera visceral, algo así como pedirle a alguien que haga algo por un lado, y luego pedirle que lo haga con un arma apuntando con el otro. Me parece análogo, aunque solo metafóricamente, a un electrón que busca encajar en un orbital. Desde este punto de vista acogedor, el lanzamiento anteriormente conocido como el fundamental de la serie no tiene más que observar y juzgar qué tipo de trabajo está haciendo el nuevo jefe, podríamos decir. Este movimiento de deslizar un tono hacia arriba en la serie armónica a través de la resolución de la disonancia es crucial para el círculo de quintas , una relación cíclica entre las teclas musicales que gobierna en gran medida cómo funcionan las progresiones de acordes en la música occidental.

Por otro lado, uno de los desarrollos importantes en la armonía occidental del siglo XX fue la inclusión del tono 7/1 como una consonancia en términos de función armónica. Así que comenzamos hace mucho tiempo con solo 1, 2/1 y 3/1, luego nos permitimos 5/1, y ahora también hemos comenzado a aceptar 7/1 como una identidad estable que no necesariamente requiere resolución. Este cambio de percepción y el sonido que crea es parte de la música “impresionista” francesa, y de las armonías de jazz, blues, rock y funk.

Al examinar la música de varias culturas, encontramos que los intervalos del unísono y la octava (1, 2/1) se perciben universalmente. El intervalo del quinto perfecto (3/1) es casi, pero no del todo, tan ubicuo, y el intervalo del tercio mayor (5/1) es aún menos común. . . entiendes la deriva. Existe una correspondencia entre la simplicidad matemática y la estabilidad sonora en la percepción humana de la música, aunque puede estar influenciada por todo tipo de factores culturales y contextuales.

¿Cómo son evidentes las proporciones matemáticas en la estética de la estructura musical?

Considere que la relación entre la longitud de vibración y la frecuencia no está realmente gobernada por humanos, es un fenómeno natural. Sin embargo, la forma en que se organizan los eventos musicales a lo largo del tiempo está muy bajo el control humano directo a escala local y es por eso que a menudo se dice que el ritmo está realmente en el corazón del aspecto creativo de la creación de música humana. Con solo cuatro sonidos con los que trabajar, todavía se nos presentan infinitas posibilidades en cuanto a dónde podemos colocarlos en el tiempo y cómo podemos organizar conceptualmente el marco rítmico al que los eventos “encajarán”.

Piensa en la pulsación constante de los latidos de tu corazón. Suponiendo que esté en reposo y saludable, los latidos de su corazón no deben variar su velocidad de manera notable en un corto período de tiempo, por lo que se le presenta una serie de eventos espaciados regularmente (x… X… X… X. ..)

Ahora supongamos que le pido que agrupe los latidos de su corazón en dos (1… 2… 1… 2…). Podrías hacer esto con bastante facilidad, y crea la sensación de un ritmo de péndulo oscilante. También podríamos agruparlos en tres (1… 2… 3… 1… 2… 3…), O en cuatro, o en cinco, o en once.

-espera un minuto. A medida que aumentemos la longitud de las agrupaciones, comenzará a sentirse menos como el ritmo y más como contar un número alto por el placer de hacerlo. Entonces, una forma en la que aparecen proporciones o agrupaciones matemáticas simples en la estructura musical es que tendemos a favorecer los medidores que evidencian un inventario bastante corto de latidos por iteración: si el número de latidos en el medidor es alto, ese número alto tiende a ser un múltiplo de un número más simple en el que podemos contar y sentir la música si lo elegimos. Para tener una idea de cómo funciona esto, intente contar hasta 8 en un ritmo rápido y constante; luego intente contar hasta 4, colocando los números donde estaban los números impares en su cuenta de 8. La misma cantidad de tiempo pasa en cada caso, pero el tiempo se ha duplicado de manera que ahora hay la mitad de latidos que antes .

En algunas culturas, los ritmos de baile aparentemente complejos o angulares pueden requerir la expresión en términos de grandes metros compuestos como 11 o 13. Pero cuando este es el caso, casi siempre se debe a que el número alto representa subdivisiones irregulares (no divisibles por igual) de una base más básica. pulsación: (1 y 2 y 3 y 4 y) = 11; aunque solo hay cuatro pulsos en el medidor, uno de ellos, 3, es más corto que los otros, evitando la división de 11 en unidades iguales.

En Occidente, al menos, tenemos una extraña preferencia por las estructuras de fraseo musical que se pueden expresar en potencias de dos: una idea musical de 2 medidas de largo, por ejemplo, seguida de una segunda idea de 2 medidas para formar un compuesto de 4, es decir, 2 ^ 2, mide largo. Tenderíamos a seguir esto con cuatro medidas más, quizás ahora una sola idea de cuatro medidas en lugar de dos más pequeñas, para un total de 8, o 2 ^ 3 medidas, en cuyo punto podríamos considerar el asunto cerrado. Se conocen proporciones distintas de las dos manías en la música occidental, pero algo sobre la cuadratura de 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4, etc. parece atraer a nuestra sensibilidad estética, por lo que históricamente hemos organizado nuestra música de esta manera para el la mayor parte. Cuando aparece una estructura alternativa, podemos encontrarla “extraña” de alguna manera sin comprender de inmediato por qué, incluso si nos gusta. Descubrirá que históricamente existe una preferencia bastante fuerte por la música occidental para organizarse en secciones de 8, 16, 32 o quizás 64 compases. No significa en absoluto que una sección de 10 compases o una sección de 35 compases suene necesariamente “mala”, pero es probable que se perciba una desviación de la regularidad.

La matemática, entonces, se involucra en la música no solo como consecuencia de la mecánica de las olas sino como una expresión humana de equilibrio y orden desde el punto de vista estético. No es difícil ver la simetría, 2 por 2 por 2 hasta el infinito, pero es más difícil entender por qué este tipo de simetría es más valioso para algunas culturas musicales que otras, así como por qué parece variar en importancia en La misma cultura con el tiempo. Puedes sacar la crianza de la naturaleza, pero no puedes tomar la naturaleza … Quiero decir, no puedes desnaturalizar …

…Oh no importa. Voy a practicar algo de música ahora.

(¡ Gracias por el A2A! )

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