¿Cuál es la prueba de [matemáticas] 4 = \ sqrt [3] {2 + \ sqrt {-121}} + \ sqrt [3] {2 – \ sqrt {-121}} [/ matemáticas]?

Sea [matemáticas] a ^ 3 = 2 + 11i, b ^ 3 = 2-11i, x = a + b. [/ Matemáticas] Luego, usando la identidad [matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b), [/ math] obtenemos que [math] x ^ 3 = 4 + 3abx. [/ math] Si elegimos [math] a, b [/ math] para que [math] ] a = \ overline {b}, [/ math] luego [math] ab = a \ overline {a} = 5. [/ math] Esto significa [math] x ^ 3 = 15x + 4. [/ math] De [math] x = a + \ overline {a}, [/ math] se deduce que [math] x [/ math] es una raíz real de [math] t ^ 3-15t-4 = 0, [/ math] one de los cuales es 4.

EDITAR: De hecho, es posible obtener tres valores reales distintos para [matemática] x [/ matemática] dependiendo de la elección de [matemática] a, b. [/ Matemática] Para probar esto, primero tenga en cuenta que si [matemática] w, z [/ math] son ​​dos números complejos para los cuales [math] | w | = | z | [/ math] y [math] w + z [/ math] es real, entonces [math] w = -z [/ math] o [math] w = \ overline {z}. [/ math] Esto está claro porque si arreglamos [math] w, [/ math] entonces [math] z [/ math] se encuentra en el círculo de radio [matemática] | w | [/ matemática] centrada en el origen y la línea [matemática] \ text {Im} (u) = – \ text {Im} (w). [/ matemática] Los dos puntos de intersección corresponden a [matemáticas] w = -z [/ matemáticas] y [matemáticas] w = \ overline {z}. [/ matemáticas]

Ahora, si [math] \ omega [/ math] es una raíz cúbica primitiva de la unidad, [math] a_1 = 2 + i, b_1 = 2-i, [/ math] entonces [math] (a_1 \ omega ^ m) ^ 3 = 2 + 11i, (b_1 \ omega ^ n) ^ 3 = 2-11i [/ math] para cualquier número entero positivo [math] m, n. [/ Math] Sea [math] x = a_1 \ omega ^ m + b_1 \ omega ^ n. [/ math] Del resultado anterior, [math] a_1 \ omega ^ m = -b_1 \ omega ^ n [/ math] o [math] a_1 \ omega ^ m = \ overline {b_1 \ omega ^ n}. [/ math] En el primer caso, el cubicado de la ecuación produce [math] a_1 ^ 3 = -b_1 ^ 3, [/ math] claramente falso. En el otro caso, obtenemos [math] a_1 \ omega ^ m = a_1 \ overline {\ omega ^ n}, [/ math] entonces [math] m + n [/ math] es un múltiplo de 3. Para los pares [matemática] (m, n) = (0,0), (1,2), (2,1), [/ matemática] obtenemos [matemática] x = 4, -2- \ sqrt {3}, – 2+ \ sqrt {3}. [/ Math]

Deje [math] a = \ sqrt [3] {2 + 11i} [/ math], y [math] b = \ sqrt [3] {2 – 11i} [/ math]. (Nota: [matemáticas] 11i = \ sqrt {-121} [/ matemáticas], por supuesto).

Entonces, [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = 4 [/ matemáticas].

Pero [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 – ab + b ^ 2) [/ matemáticas].

Además, [math] ab = \ sqrt [3] {(2 + 11i) (2 – 11i)} = \ sqrt [3] {125} = 5 [/ math] (ignorando las raíces complejas).

Por otro lado, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 – 2ab = (a + b) ^ 2 – 10 [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] 4 = (a + b) [(a + b) ^ 2 – 15] [/ matemáticas].

Esta ecuación se resuelve con [math] a + b = 4 [/ math], que se verifica fácilmente mediante sustitución directa. Por supuesto, también son posibles otras soluciones, en cuyo caso el resultado no será 4 (la ecuación original contiene dos raíces cúbicas, cada una de las cuales tiene tres valores complejos, lo que lleva a un total de 9 combinaciones posibles).

Otra forma de demostrar esto es simplemente observar que [matemáticas] (2 + i) ^ 3 = 2 + 11i [/ matemáticas] y [matemáticas] (2-i) ^ 3 = 2-11i [/ matemáticas], y de curso [matemáticas] (2 + i) + (2-i) = 4 [/ matemáticas]. Pero creo que esto puede ir en contra del espíritu del ejercicio, que (supongo) no debería implicar calcular o adivinar los valores de las raíces cúbicas.

Por otra parte … podemos escribir [matemáticas] 2 + 11i = \ sqrt {2 ^ 2 + 11 ^ 2} (\ cos {\ alpha} + i \ sin {\ alpha}) [/ matemáticas] y [matemáticas] 2- 11i = \ sqrt {2 ^ 2 + 11 ^ 2} (\ cos {\ alpha} -i \ sin {\ alpha}) [/ math], con [math] \ alpha [/ math] dado por [math] \ tan \ alpha = 11/2 [/ matemáticas].

Las raíces cúbicas, entonces, están dadas por [matemáticas] \ sqrt [3] {2 + 11i} = \ sqrt {5} (\ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} + i \ sin \ textstyle \ frac {\ alpha} {3}) [/ math] y [math] \ sqrt [3] {2-11i} = \ sqrt {5} (\ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} -i \ sin \ textstyle \ frac {\ alpha} {3}) [/ math], cuya suma se simplifica a [math] 2 \ sqrt {5} \ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} [/ math].

Dado [matemática] \ tan {\ alpha} = 11/2 [/ matemática], [matemática] \ cos \ alpha = \ sqrt {1 / (\ tan ^ 2 \ alpha + 1)} = 2/5 \ sqrt { 5} [/ matemáticas]. También sabemos que [math] \ cos \ alpha = 4 \ cos ^ 3 \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} -3 \ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} [/ math]. Al resolver esta ecuación cúbica para [math] \ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} [/ math], obtenemos tres raíces reales, entre ellas [math] \ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} = 2 / \ sqrt {5} [/ matemáticas].

Con esta solución, obtenemos [math] \ sqrt [3] {2 + 11i} + \ sqrt [3] {2-11i} = 2 \ sqrt {5} \ cos \ textstyle \ frac {\ alpha} {3} [/ math], que es igual a [math] 2 \ sqrt {5} \ times2 / \ sqrt {5} = 4 [/ math].

El número complejo a + bi se puede expresar como [math] r \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) [/ math], donde
[matemáticas] r = \ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan \ theta = \ frac {b} {a} [/ matemáticas], [matemáticas] – \ pi <\ theta \ leq \ pi [/ matemáticas]

Para el número complejo [math] z [/ math], donde [math] z ^ {3} = r \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) [/ math], luego [math] z = \ sqrt [3] {r} \ left [\ cos \ left (\ frac {\ theta +2 \ pi n} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ theta +2 \ pi n } {3} \ right) \ right] [/ math] donde [math] n = 0,1,2 [/ math]

Pero para [math] \ sqrt [3] {r \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right)} [/ math], utilizamos la raíz del cubo principal [math] \ sqrt [3] {r} \ left [\ cos \ left (\ frac {\ theta} {3} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ theta} {3} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] 2 + 11i [/ matemáticas] se encuentra en el cuadrante I del plano complejo
[matemáticas] 2-11i [/ matemáticas] se encuentra en el cuadrante IV del plano complejo

[matemáticas] 2 + 11i = \ sqrt {125} \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right), \ theta = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {11} {2} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ sqrt [3] {2 + 11i} = \ sqrt {5} \ left (\ cos \ frac {\ theta} {3} + i \ sin \ frac {\ theta} {3} \ right) [ /matemáticas]

[matemáticas] 2-11i = \ sqrt {125} \ left (\ cos \ theta -i \ sin \ theta \ right) [/ math]
[matemáticas] \ sqrt [3] {2-11i} = \ sqrt {5} \ left (\ cos \ frac {\ theta} {3} -i \ sin \ frac {\ theta} {3} \ right) [ /matemáticas]

Desde arriba vemos que [math] \ sqrt [3] {2-11i} [/ math] es un conjugado complejo de [math] \ sqrt [3] {2 + 11i} [/ math]

Deje [math] \ sqrt [3] {2 + 11i} = a + bi [/ math], luego
[matemáticas] 2 + 11i = \ left (a + bi \ right) ^ {3} = a ^ 3 + 3a ^ 2bi + 3ab ^ 2i ^ 2 + b ^ 3i ^ 3 [/ math]
[matemáticas] 2 + 11i = a ^ 3 + 3a ^ 2bi-3ab ^ 2-b ^ 3i [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 + 11i = \ left (a ^ 3-3ab ^ 2 \ right) + \ left (3a ^ 2b-b ^ 3 \ right) i [/ math]
[matemáticas] a ^ 3-3ab ^ 2 = 2, 3a ^ 2b-b ^ 3 = 11 [/ matemáticas]

Como [math] 2 + 11i = \ sqrt {125} \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) [/ math] está en el cuadrante I, entonces [math] a + bi = \ sqrt [3 ] {2-11i} = \ sqrt {5} \ left (\ cos \ frac {\ theta} {3} -i \ sin \ frac {\ theta} {3} \ right) [/ math] también debe estar en cuadrante I

Por lo tanto, [matemáticas] a> 0, b> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] | a + bi | = \ sqrt {5} \ Flecha derecha a ^ 2 + b ^ 2 = 5 [/ matemática]

Entonces resolvemos el sistema: [matemáticas] a ^ 3-3ab ^ 2 = 2, 3a ^ 2b-b ^ 3 = 11, a ^ 2 + b ^ 2 = 5 [/ matemáticas], con [matemáticas] a> 0 , b> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3-3ab ^ 2 = 2 [/ matemáticas]
[matemática] a \ left (a ^ 2-3b ^ 2 \ right) = 2 [/ math]
[matemáticas] a \ left (a ^ 2-3 \ left (5-a ^ 2 \ right) \ right) = 2 [/ math]
[matemática] a \ left (4a ^ 2-15 \ right) = 2 [/ math]
[matemáticas] 4a ^ 3–15a-2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (a-2) (4a ^ 2 + 8a + 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {1} {2} \ izquierda (-2 \ pm \ sqrt {3} \ derecha) [/ matemáticas]

Como [matemática] a> 0 [/ matemática], entonces [matemática] a = 2 [/ matemática]
[matemáticas] b ^ 2 = 5-a ^ 2 = 5–4 = 1 [/ matemáticas]
Como [math] b> 0 [/ math], entonces [math] b = 1 [/ math]

[matemáticas] \ sqrt [3] {2 + 11i} = 2 + i [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt [3] {2-11i} = 2-i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ color {Azul} {\ sqrt [3] {2 + 11i} + \ sqrt [3] {2-11i} = (2 + i) + (2-i) = 4} [/ matemáticas]

Iba a decir que me recuerda la estructura de la fórmula para las raíces del cúbico reducido, x ^ 3 + ax + b = 0. La respuesta de Aaron confirma eso.