Podría dividir la desigualdad en dos partes y probarlas por separado usando MVT.
(a) [matemática] 1 + x <e ^ x [/ matemática] en el rango 0 <x <1, y
(b) [matemáticas] e ^ x <\ frac {1} {1-x} [/ matemáticas] en el rango 0 <x <1
Para la parte (a), use MVT en [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas] en el intervalo (0, x) para obtener
[matemáticas] \ frac {e ^ x-1} {x-0} = e ^ c [/ matemáticas]. Sin embargo, como [math] c \ in (0, x) [/ math], tenemos
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[matemáticas] \ frac {e ^ x-1} {x} = e ^ c> e ^ 0 = 1 [/ matemáticas], que le da la primera parte
[matemática] 1 + x 0 (lo que implica que también debe mantenerse para 0 <x <1.
Para la parte (b), la idea es muy similar. Necesitas reescribir
[matemáticas] e ^ x <\ frac {1} {1-x} [/ matemáticas] como [matemáticas] \ frac {e ^ x-1} {x} <e ^ x [/ matemáticas] donde necesitará 0 <x <1 para preservar los signos de desigualdad .
Ahora, está en una forma en la que puede aplicar fácilmente MVT nuevamente en [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas] en el intervalo (0, x) para obtener
[matemáticas] \ frac {e ^ x-1} {x-0} = e ^ c [/ matemáticas] como antes. Sin embargo, como [math] c \ in (0, x) [/ math], tenemos
[matemáticas] \ frac {e ^ x-1} {x} = e ^ c <e ^ x [/ matemáticas].
que en realidad se cumple para todos x> 0. Pero tuvimos que usar x> 0 yx <1 para reescribir la desigualdad en la que se describió anteriormente. Por lo tanto, la desigualdad original en (b) se mantiene solo para 0 <x <1.
Estoy seguro de que hay soluciones más elegantes y me encantaría escucharlas.
