¿Es una prueba matemática de que si A = 0 y B = 0, entonces A = B?
La propiedad transitiva de la igualdad se ha mencionado en otras respuestas.
Aquí hay otra forma (más técnica) de responder a esta pregunta: ¿Cómo sabemos que solo hay un número que se comporta de la manera en que lo hace “0”?
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Cuando definimos grupos, campos y anillos usando axiomas, a menudo comenzamos con un conjunto S y una operación binaria (digamos, suma) en ese conjunto. Luego declaramos (en un axioma) que el conjunto en cuestión tiene una identidad aditiva, es decir, existe un elemento [matemático] e \ en S [/ matemático] con el comportamiento que, para cualquier x, [matemático] e + x = x + e = x [/ matemáticas]. El axioma no especifica que este objeto es único, pero generalmente es seguido por:
Teorema: la identidad aditiva es única.
Prueba: supongamos que [math] e [/ math] y [math] e ‘[/ math] tienen el comportamiento de una identidad aditiva. Luego
[matemáticas] e = e + e ‘= e’ \ tag {$ \ square $} [/ matemáticas]
Para ser claros: [matemática] e = e + e ‘[/ matemática] porque [matemática] e’ [/ matemática] se comporta como la identidad aditiva, y [matemática] e + e ‘= e’ [/ matemática] porque [ math] e [/ math] se comporta como la identidad aditiva. La prueba de la unicidad de la identidad multiplicativa (1) es casi idéntica.
