¿Tenemos alguna prueba de que nuestras matemáticas son correctas?

No hay una prueba de que las matemáticas sean correctas, en cambio, cada enunciado dentro de las matemáticas necesita su propia prueba para saber que es correcto.

Una declaración en matemáticas que tiene una prueba se llama teorema . Si no tiene una prueba, podría llamarse una conjetura si se espera que sea cierta, pero las conjeturas aún no tienen pruebas.

A los niños se les enseñan matemáticas sin darles pruebas completas, aunque generalmente se les dan algunas razones, y a menudo las entienden intuitivamente. Por ejemplo, para ilustrar la conmutatividad de la multiplicación, se eligen un par de números, como 4 y 7, y se dibuja una matriz rectangular de puntos de 4 por 7. Luego se interpreta como la suma de 4 7 y de 7 4, lo que indica que 4 por 7 es igual a 7 por 4. Ese es un argumento convincente, pero no es una prueba formal ya que faltan las justificaciones para la conclusión y los pasos que contiene. . Una prueba completa tendría que suministrar esos.

Sospecho que su noción de “derecho” se relaciona con la pregunta: “¿Describe con precisión el universo que habitamos?”.

La matemática misma es correcta. Cualquier cosa que se descubra que está mal se descarta.

Sin embargo, la cuestión de describir con precisión el universo es que las matemáticas están mal, pero también son correctas provisionalmente. Por ejemplo, la geometría que aprendió en la escuela secundaria es correcta, pero en realidad no describe el universo. Se necesita un tipo de espacio curvo más complicado si desea describir matemáticamente el universo. Y esa descripción puede no ser 100% correcta, a su vez, a medida que se realizan nuevos descubrimientos científicos, se pueden requerir cambios en las matemáticas. Pero eso está en la ciencia, no en las matemáticas.

En un ejemplo simple, en el ámbito de los enteros, 1 + 1 = 2. Absolutamente, seguro, y sin excepciones.

Por otro lado, 1 pollo + 1 elefante no son 2 chickenelephants. Los chickenelefantes no existen. Puede aplicar las matemáticas correctas en el contexto incorrecto. El universo físico “verdadero” todavía se está descubriendo, por lo que las matemáticas para describirlo están cambiando. Pero todas las matemáticas correctas son ciertas independientemente de qué tan bien describa el universo.

No. Sabemos hoy que cualquier prueba de Matemáticas será incompleta o inconsistente, según el primer teorema de incompletitud de Godel.

Tal prueba se intentó una vez. Un grupo de matemáticos dirigido por Bertrand Russel y Alfred North Whitehead se propuso escribir Principia Mathematica . La idea era escribir una formalización completa de las matemáticas. Todo el edificio de las matemáticas estaría probado. Comenzaron con Peano Aritmética (los números naturales) y su primera prueba fue que [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]. Este simple axioma (conocido como la Regla Sucesora) les llevó más de 300 páginas de notación matemática pura para probar. Puedes imaginar la dificultad de la tarea y lo grandioso que sería el trabajo final.

Pero exactamente por esa época, Kurt Godel publicó el primero de sus teoremas de incompletitud. Y las conclusiones fueron devastadoras para Principia Mathematica . Godel demostró sin lugar a dudas que cualquier intento de formalizar un sistema no puede ser completo y consistente. Si está completo, será inconsistente y si es consistente, estará incompleto. Lo que esto significó para Principia Mathematica fue que Russel, Whitehead y su grupo no podrían probar algunos axiomas o si probarían declaraciones falsas. En matemáticas, esto último es completamente inaceptable. La consistencia es el sello distintivo de cualquier sistema numérico. Entonces se dio cuenta rápidamente de que les sería imposible probar las matemáticas. Su prueba siempre estaría incompleta.

¿Qué significa esto en el contexto de su respuesta?

Las matemáticas se basan en los sistemas numéricos y los axiomas que los definen. Estos son los pilares de las matemáticas. Estos axiomas han sido aceptados como verdaderos y han estado proporcionando resultados consistentes a lo largo de los siglos. Entonces confiamos en que las matemáticas sean Verdaderas.

Pero…

No podemos probarlo. Podemos probar muchos axiomas. Podemos probar muchas propiedades de números, ecuaciones, métodos y procesos. Las matemáticas son ricas en pruebas matemáticas. Pero, como lo demostró Godel, hay ciertos axiomas que son ciertos, pero que no se pueden probar. Confiamos en las matemáticas porque solo hemos estado aceptando y trabajando en axiomas demostrables.

Las matemáticas se basan en axiomas que suponemos que son ciertos: no podemos demostrarlos, simplemente asumimos que son ciertos y vemos a dónde nos lleva. Todas las pruebas se derivan de estos axiomas.

Las personas pueden (y lo hacen) elegir diferentes axiomas para hacer matemáticas “diferentes”. Estos nuevos sistemas son autoconsistentes, pero por supuesto diferentes entre sí.

Para las matemáticas “normales”, elegimos un conjunto de axiomas que se correlacionan con el mundo físico, y esto nos permite predecir cuándo y dónde aterrizará una pelota cuando la lancemos, la corriente en un circuito eléctrico, etc.

Por lo tanto, no puede probar que “nuestras matemáticas” son correctas, pero sí sabe que es coherente y puede usarse para modelar el mundo real.

Primero, comenzaremos con lo que son las matemáticas: es el estudio de la consecuencia lógica. Eso significa que tomamos una colección de supuestos y una forma de sacar conclusiones de esos supuestos, y vemos lo que obtenemos.

Mientras no haya errores, la conclusión es correcta, dentro de nuestro sistema. No tiene sentido decir que un resultado matemático es verdadero o falso, sin saber qué axiomas y sistema de inferencia se utilizaron.

Las matemáticas son verdaderas por definición. En matemáticas comenzamos con un conjunto de reglas o axiomas. A partir de estas reglas iniciales que establecemos, podemos demostrar que las matemáticas que realizamos son correctas. Obviamente, esto no prueba que las matemáticas describan algo físico, pero ese es el trabajo de la ciencia física y no de las matemáticas.

No. Por dos razones:

  1. Su pregunta tiene términos indefinidos; y
  2. Incluso con términos adecuadamente definidos, la pregunta probablemente no tenga sentido.

También sospecho, pero no tengo “prueba”, que sus conceptos de los tres términos principales no están bien formados:

  • ¿”Prueba” significa lo que significa en matemáticas o tiene algo que ver con la evidencia (como la usé anteriormente)?
  • ¿Crees que las “matemáticas” tienen algo que ver con la verdad?
  • El uso de “correcto” implica que algo, en particular las matemáticas, podría estar “equivocado” y no está del todo claro de qué manera podrían serlo.

Por otro lado, tengo evidencia de que las matemáticas son

  • Hermosa
  • Útil
  • Interesante
  • Desafiante

así que no me importa si es “correcto”, aunque podría estar interesado en una descripción matemática de ese concepto …

Como muchos otros han señalado, no tenemos pruebas de que nuestras matemáticas sean correctas.

Por otro lado, tenemos bastante prueba de que nuestras matemáticas son útiles. Este sitio web y sus medios para acceder a él son solo un par de ejemplos.

More Interesting

Explicaciones del laico: ¿Cuál es el fundamento de la lógica?

¿Necesita saber matemáticas para aprender TI, especialmente Cisco?

Soy un ingeniero eléctrico (de IIT). Quiero tomar el examen opcional de matemáticas para los principales UPSC. ¿Cuáles son los pros y los contras? ¿Hay alguna escala para las matemáticas?

¿Cómo se puede probar la siguiente identidad para [math] 0 <k \ le m [/ math]? [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = \ max (0, 2k-m)} ^ ki \ binom {k} {i} \ binom {mk} {ki} = \ frac {k ^ 2} {m} \ binom {m} {k} [/ matemáticas]

¿Cómo son útiles las matemáticas en la vida diaria?

SSB me rechazó 4 veces (2 veces SO y 2 veces CO). No sé dónde me estoy quedando atrás. ¿Cuáles son algunos consejos?

¿Qué es una explicación intuitiva de una derivada de Lie?

¿Qué libros recomendarías para ayudar a alguien a enamorarse de las matemáticas?

Estoy en la clase IX. Hay muchas cosas complejas que deben demostrarse en matemáticas, como teoremas y desigualdades en triángulos. ¿Cómo puedo hacer pruebas complejas fácilmente?

¿La simplicidad y la idea controvertida pueden conducir a la solución de una conjetura notoria?

¿Qué es una explicación intuitiva de un cobordismo?

¿Estudiar El arte y la artesanía de la resolución de problemas de Paul Zeitz es suficiente para obtener una medalla en la OMI?

¿Puedes explicar la prueba del último teorema de Fermat, como si tuviera 5 años?

¿Cómo nace un teorema?

¿Cómo encontrar las intersecciones - e y de la función de sincronización (sinx / x)? ¿Cómo lo trazo a mano?