Creo que una buena parte de las matemáticas que he visto cae en esto.
Las secuencias espectrales vienen inmediatamente a la mente. Vemos la fórmula [matemática] E ^ 2_ {p, q} = H_p (B; H_q (F; G)) [/ matemática] dada una fibración [matemática] F \ a X \ a B [/ matemática] con el la base B (por ejemplo) simplemente se conecta y dice “¿qué diablos está pasando?” Pero, una vez que pasa por la construcción de la secuencia espectral de Serre, observa una filtración y un diagrama de escalera resultante, así como un par de ejemplos de computación, se vuelve bastante sencillo. Como dice Michael Hutchings: ‘Las palabras “secuencia espectral” provocan miedo en los corazones de muchos matemáticos endurecidos. Estas notas intentarán demostrar que las secuencias espectrales no son tan aterradoras y también muy poderosas ‘.
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Otra cosa que me llevó un tiempo entender fue el teorema del coeficiente universal para la cohomología:
[matemáticas] 0 \ a Ext (H_ {n-1} (M); G) \ a H ^ {n} (M; G) \ a Hom (H_n (M), G) \ a 0 [/ matemáticas]
se divide exactamente Literalmente solo significa que la cohomología es lo que creemos que depende de un término de error (gracias Ralph Cohen).
También creo que las ideas básicas detrás de la teoría Morse merecen una mención. La topología de una variedad está determinada efectivamente por una función suave [math] f: M \ to \ mathbb {R} [/ math] con puntos críticos no degenerados. Se construyen los múltiples puntos críticos dados y un índice asociado a los puntos críticos. Las ideas surgen en la prueba del teorema del cobordismo h, que efectivamente nos da la conjetura generalizada de Poincare en dimensiones 5 y superiores.
Además, la idea de una conexión abstracta probablemente merece mención (y la derivada de Lie también mientras estamos en ello).
Hay muchos otros ejemplos, pero estos surgieron de inmediato.
