Cómo encontrar las raíces de [matemáticas] f (x) = 2x – 4 \ sin {x} [/ matemáticas]

Como se trata de una ecuación trascendental, no se puede obtener una expresión de forma cerrada para las raíces. De todos modos, puede aislarlos: los extremos se pueden obtener explícitamente cancelando la derivada,

[matemáticas] 2–4 \ cos x = 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = \ pm \ dfrac \ pi3 + 2k \ pi [/ matemáticas],

correspondiente a mínimos y máximos, alternativamente. Si conecta estos valores en la función inicial obtendrá

[matemáticas] \ pm \ dfrac {2 \ pi} 3 + 4k \ pi \ mp2k \ sqrt3 [/ matemáticas]

y cuando dos valores sucesivos tienen signos opuestos, sabes que hay una y solo una raíz entre ellos. (En este caso, hay tres intervalos de este tipo).

Esto sirve como base para la búsqueda de raíz numérica (por regula falsi o Newton u otro).

Noté que [matemática] -4 \ sen x [/ matemática] está entre 4 y -4 para todos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] 2x [/ matemática] está entre esos valores solo para [matemática] x [ / matemáticas] entre 2 y -2. Entonces vemos que las soluciones pueden existir solo entre 2 y -2.

Luego, observe que la función es impar, entonces cero es una raíz y si [math] x [/ math] es una raíz, también lo es [math] -x [/ math], por lo que solo necesitamos buscar raíces en [math] (0 , 2] [/ matemáticas].

Luego, [matemática] f ‘(x) = 2 – [/ matemática] [matemática] 4 [/ matemática] [matemática] \ cos x [/ matemática] por lo que solo hay un punto crítico (mínimo) en [matemática] (0,2] [/ matemática] en [matemática] x = \ frac \ pi 3 [/ matemática]. Aquí [matemática] f <0 [/ matemática].

A continuación, [matemática] \ sen 2 <1 [/ matemática], por lo que la función es positiva en [matemática] x = 2 [/ matemática] y, dado que solo hay un mínimo en (0,2), se deduce que solo hay una raíz de [math] f [/ math] en este intervalo y debe estar entre [math] \ frac \ pi 3 [/ math] y 2.

Entonces ahora sabemos que hay tres raíces: una en cero, una entre [matemáticas] \ frac \ pi 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas], y una con signo opuesto entre [matemáticas] – \ frac \ pi 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] -2 [/ matemáticas].

Con algo más simple de trigonometría, vemos que [math] f \ left (\ frac \ pi 2 \ right) <0 [/ math] por lo que la raíz positiva solitaria está entre [math] \ frac \ pi 2 [/ math] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Pero en este punto hemos llegado al límite de nuestro análisis simple. A partir de aquí, recurrimos a métodos numéricos para encontrar una aproximación racional para esta raíz positiva. Como sabemos que está en un intervalo, no es difícil formular un algoritmo iterativo convergente. Con este enfoque, encontramos que las raíces son

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x \ aprox \ pm 1.895494267 [/ matemáticas]

• Probablemente la respuesta esperada para los estudiantes de hoy es “usted usa su calculadora gráfica”.

Para nosotros, desde la generación anterior a las calculadoras gráficas, usamos cálculo, nuestro cerebro y algunos cálculos iterativos, tal vez usando una computadora. Ya obtuviste ambos tipos de respuestas de otros coroanos.

Encontrar las raíces significa encontrar cuando la función es igual a 0. Entonces 2x-4sinx = 0. Dividiendo por dos tenemos x = 2sinx. Ahora, una buena manera de determinar cuántas raíces tiene esto es dibujar un gráfico. De esto es obvio que uno es cero. El otro se puede encontrar utilizando el método de bisección, que le permite acercarse lo más posible a la solución.

Puede encontrar las raíces numéricamente en lugar de exactamente reorganizando una de las x. Dejando una expresión para x en términos de pecado (x). Establezca f (x) = 0 y encuentre que x = 2sin (x). Puedes elegir x1> 0 un poco más grande y ponerlo en g (x1) = 2sin (x1) = x2 … Sigue repitiendo y encontrarás algunas raíces si existen. Realizar un análisis de la convergencia de la secuencia le mostrará cómo encontrar analíticamente raíces exactas. Hay muchos buenos libros para encontrar raíces de forma iterativa. ¡No olvide que el seno tiene una expansión de la serie Taylor polinómica para estimar!