Cómo mostrar que el conjunto de todas las funciones limitadas en [a, b] es un espacio normativo

Suponga que la familia de todas las funciones de valor real delimitadas definidas en [matemáticas] \; [a, b] \; [/ matemáticas] es [matemáticas] \; V \ ;. \;[/matemáticas]

Obviamente [math] \; V \; [/ math] es un espacio vectorial (espacio lineal) con respecto a la suma puntual y la multiplicación escalar.

Por ejemplo, si [matemáticas] \; f \;, \; g \; [/ math] están en [math] \; V \; [/ math] entonces existen números positivos (por ejemplo) [math] \; \; K_ {1} \ ;, \; K_ {2} \ ; [/ math] tal que [math] \; \; | f (x) | \; \ le \; K_ {1} \; \; \; \; \ forall \; \; x \ en [a, b] \; \; [/ math] y [math] \; \; | g (x) | \; \ le \; K_ {2} \; \; \ forall \; \; x \ en [a, b] \; \; [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] \; \; | (f + g) (x) | \; = \; | f (x) + g (x) | [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \; \; \ le \; | f (x) | + \; | g (x) | \; \ le \; K_ {1} + K_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \; \; <\; \ infty \; \; \; \ forall \; \; x \ in [a, b] \; \; [/ math]

Así obtenemos

[matemáticas] \; \; f \ ;, \; g \; \ en V \; \ Longrightarrow \; f + g \ en V \ ;. \;[/matemáticas]

De manera similar, podemos mostrar fácilmente que

[matemáticas] \; \; f \; \ en V \ ;, \; \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ Longrightarrow \; \ alpha f \; \ in \; V \ ;. \;[/matemáticas]

Para cada [matemática] \; \; f \ en V \; \; [/ matemática] definimos [matemática] \; \; [/ matemática] [matemática] || f || \; \; [/ matemática] como [matemáticas] \; \; || f || = \; \ sup \; \ {f (x) \; \ big | \; x \ in \; [a, b] \; \} [/ matemáticas ]

Podemos verificar fácilmente que (mediante el uso de las propiedades de los números reales) [matemáticas] \; \; || \; || \; \; [/ matemáticas] es en realidad una norma sobre [matemáticas] \; \; V \; . \;[/matemáticas]

Por ejemplo,

si [matemáticas] \; f \;, \; g \; [/ math] están en [math] \; V \; [/ math] entonces existen números positivos (por ejemplo) [math] \; \; K_ {1} \ ;, \; K_ {2} \ ; [/ math] tal que [math] \; \; | f (x) | \; \ le \; K_ {1} \; \; \; \; \ forall \; \; x \ en [a, b] \; \; [/ math] y [math] \; \; | g (x) | \; \ le \; K_ {2} \; \; \ forall \; \; x \ en [a, b] \; \; [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \; \; || f || \ le K_ {1} <\ infty \; \; [/ matemática] y

[matemáticas] \; \; || g || \ le K_ {2} <\ infty \; \; [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] \; \; || f + g) || \; [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \; \; = \; \ sup \; \ {| f (x) + g (x) | \; \ big | \; x \ en [a, b] \; \} \; [/matemáticas]

[matemáticas] \; \; \ le \; \ sup \; \ {| f (x) | + | g (x) | \; \ big | \; x \ en [a, b] \; \} \ ;[/matemáticas]

[matemáticas] \; \; \ le \; \ sup \; \ {| f (x) | \} \; + \; \ sup \; \ {| g (x) | \} \; [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \; = \; || f || + || g || \; [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] \; \; || f + g || \; \ le \; || f || + || g || \ ;, [/ matemáticas] [matemáticas] \; [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \ forall \; \; \; [/ matemáticas] [matemáticas] f, g \ en V \; \; [/ matemáticas] …………. (1)

De manera similar, podemos demostrar fácilmente que

[matemáticas] \; || f || \ ge 0 \; \; \; f [/ matemáticas] [matemáticas] \ en V \; \; [/ matemáticas] ……………… (2)

[matemáticas] \; || \ alpha f || = | \ alpha | \; || f || \; [/ matemáticas], [matemáticas] \; \ forall \; \; f \ en V \ ;, [ /matemáticas]

[matemáticas] \; \; \ forall \; \; \ alpha \ in \ mathbb {R} \; [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] ……………… (3)

[matemáticas] \; || f || = 0 \; \ Longleftrightarrow \; f \ equiv 0 \; \; [/ matemáticas] ……………… (4)

Por lo tanto, [math] \; \; V \; \; [/ math] es un espacio lineal normalizado.