¿Cuál es el significado de los monoides en la teoría de categorías?

Las acciones correctas de los monoides de endomorfismo producen (di) gráficos. Esto se describe en detalle en “Lawvere, Rosebrugh: Sets for Mathematics” (pero reserve mucho tiempo leyendo este libro). En principio, esto es simular el comportamiento de los dígrafos (p. Ej., Cómo obtener vértices de los bordes) utilizando máquinas de estados, y luego producir un functor F: Mon ^ {op} -> Conjunto que codifica esos datos. Para los científicos informáticos, esta forma de codificar gráficos es algo extraña ya que básicamente modelas aristas en lugar de pares (V, E) y obtienes vértices usando las restricciones impuestas por la estructura monoide de endomorfismo. Pero es completamente general y podrá expresar bordes bidireccionales, etc., conceptos más difíciles con el mismo mecanismo. He escrito código en Haskell que implementa gráficos usando esta representación.

¡Los monoides están en todas partes!

La definición tradicional de un monoide es un conjunto con una operación binaria (llamémosla “multiplicación”) que es asociativa y con un elemento especial: la unidad de multiplicación.

Luego está la definición categórica: una categoría con un objeto. Esta definición es equivalente a la anterior en que el conjunto original se reemplaza por el conjunto hom, la unidad por el morfismo de identidad y la multiplicación asociativa con la composición de los morfismos.

Una generalización natural es requerir que la asociatividad y las leyes de unidad sean ciertas solo hasta el isomorfismo. Entonces resulta que, por ejemplo, tomar un producto cartesiano de dos conjuntos puede verse como una “multiplicación” de conjuntos, con el conjunto singleton como la unidad.

Esto puede generalizarse reemplazando el producto cartesiano con un producto categórico y el singleton con el objeto terminal. Obtienes una categoría cartesiana. O puede cambiar a un coproducto categórico, con el objeto inicial como unidad (categoría co-cartesiana).

Luego, puede reemplazar el producto o coproducto con un bifunctor aún más general llamado producto tensorial. Obtienes una categoría monoidal. Un gran ejemplo de una categoría monoidal es la categoría de endofunctores. La composición del functor desempeña el papel del producto tensorial, el functor de identidad es el objeto de la unidad.

Una vez que tenga una categoría monoidal, puede definir un monoide en ella. Es un objeto junto con dos morfismos. Un morfismo va desde el cuadrado del objeto (producto tensor del objeto consigo mismo) de regreso al objeto. Esa es tu multiplicación. El segundo morfismo va del objeto de la unidad a tu objeto, esa es tu unidad.

Ahora puedes jugar con monoides en varias categorías monoidales. Por ejemplo, un monoide en la categoría de endofunctores se llama mónada. Un monoide en la categoría de profunctores se llama flecha (bueno, también debes asumir la fuerza). Si elige la convolución del día como su producto tensor, obtendrá el functor aplicativo.

Y eso es solo el comienzo, porque una categoría monoidal se puede usar para construir categorías enriquecidas, en las que los conjuntos de hom se reemplazan por objetos hom de una categoría monoidal.

Codifican la estructura algebraica más esencial a nivel categórico. Además, comienzan la historia del álgebra de los functors.

Un monoide, en términos categóricos, es una categoría con un objeto. Esto los hace bastante fundamentales.