Bueno, el toro complejo es el toro real con estructura adicional (la de un múltiple complejo), por lo que no estoy seguro de saber cómo responder a la pregunta “¿por qué tiene tanta estructura?” Además de señalar eso, por definición, lo hace. La estructura compleja en el plano es mucho más rica y rígida que las estructuras topológicas o difeomorfas flexibles.
Los mapas biholomórficos son “raros”. De hecho, un mapa biolomórfico y biyectivo del plano completo a sí mismo debe tener una transformación afín [math] z \ mapsto az + b [/ math]. Contrasta esto con los homeomorfismos o diffeomorfismos del plano en sí mismo, de los cuales hay muchos indescriptibles.
Dado que un mapa biholomórfico entre toros se eleva a un mapa bioholomórfico entre sus cubiertas universales (el plano), puede ver que es bastante raro que dos redes tengan cocientes biholomórficos: las redes deben ser afinadamente equivalentes. Si supone, como de costumbre, que las redes contienen 0, entonces producen la misma variedad compleja si y solo si son homotéticas (una es un múltiplo constante de la otra).
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En cuanto a las consecuencias, bueno, algunas personas argumentarían que toda la teoría de las curvas elípticas es una consecuencia. Significa que la geometría compleja de las curvas elípticas es mucho más rica y sutil que la geometría de los toros, y esto trae un campo completo. de estudio que involucra curvas modulares, el grupo modular, etc.
