¿Cuál es la prueba lógica del teorema de la multiplicación con respecto a la probabilidad?

Supongo que desea una explicación / prueba intuitiva de:

[matemáticas] P (A \ cap B) = P (B) P (A | B) [/ matemáticas]

Si es así, entonces el mejor lugar para comenzar es con un ejemplo. Imagine que estamos almacenando manzanas en una tienda de abarrotes y que hay dos agricultores locales que nos proporcionan productos. Llamemos al granjero uno B y al granjero dos B ‘. Dentro de las cajas de manzanas que se nos proporcionan hay una cierta cantidad de manzanas que son buenas, llamemos a este evento A, y una cierta cantidad de manzanas que son malas, que llamaremos A ‘. Después de almacenar las manzanas, crea una tabla que cuenta el número de manzanas buenas y malas proporcionadas por cada agricultor. Encontramos que para el agricultor B hay 10 manzanas malas (A ‘) y 50 manzanas buenas (A), y para el agricultor B’ hay 15 manzanas malas y 25 manzanas buenas. Esto hace que la probabilidad de una manzana podrida:

[matemáticas] P (A ‘) = \ frac {\ # (A’)} {\ # (\ Omega)} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Ahora supongamos que las cajas están etiquetadas y sabemos qué caja vino del agricultor B y cuál del agricultor B ‘. Entonces podemos hacer la pregunta dado que estas manzanas provienen del agricultor B ¿cuál es la probabilidad de que sean malas? Esto es simplemente:

[matemáticas] P (A ‘| B) = \ frac {\ # (A \ cap B)} {\ # (B)} = \ frac {1} {5} [/ matemáticas]

Puede ver que el espacio es limitado y esto afecta nuestras probabilidades. En lugar de mirar todas las manzanas, ahora solo nos interesan las manzanas del agricultor B. El teorema de la multiplicación surge de esta intuición:

[matemáticas] P (A ‘| B) = \ frac {\ # (A \ cap B)} {\ # (B)} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] P (A ‘| B) = \ frac {\ # (A \ cap B) / \ # (\ Omega)} {\ # (B / \ # (\ Omega))} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] P (A ‘| B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] P (A | B) P (B) = P (A \ cap B) [/ matemáticas]

Ahora, esto no es una prueba general, pero le da una idea de cómo puede pensar al respecto. El teorema de la multiplicación surge directamente de la definición de probabilidad condicional que hace la pregunta cuál es la probabilidad de que ocurra A en el espacio muestral reducido de B.