¿Cuáles son ejemplos de cuando uno puede mover cuantificadores en declaraciones matemáticas sin cambiar su significado?

Los cuantificadores del mismo tipo siempre se pueden reordenar sin cambiar la declaración.

Si tiene una mezcla de cuantificadores existenciales y universales, las cosas se ponen más complicadas. [matemática] \ existe B \ para todos A [/ matemática] es una declaración más fuerte que [matemática] \ para general A \ existe B [/ matemática]. El último permite un B distinto para cada A, mientras que el primero requiere un solo B que funciona para cada A. Por ejemplo, una función f es continua en un conjunto S cuando

[matemática] \ forall x \ en S, \ forall \ epsilon> 0, \ exist \ delta> 0, \ forall a \ in \ mathbb {R}: | ax | <\ delta \ Rightarrow | f (a) -f (x) | <\ epsilon [/ math].

Y es uniformemente continuo en S cuando

[matemática] \ forall \ epsilon> 0, \ exist \ delta> 0, \ forall x \ in S, \ forall a \ in \ mathbb {R}: | ax | <\ delta \ Rightarrow | f (a) -f (x) | <\ epsilon [/ math].

La única diferencia es que colocamos [math] \ forall x \ en S [/ math] más adelante en la expresión, y efectivamente, obtenemos una declaración más fuerte, porque la continuidad uniforme implica una continuidad puntual.

Hay una hermosa noción llamada jerarquía aritmética.

Una fórmula cerrada (es decir, una fórmula sin variables libres) se clasifica por su cuantificador más a la izquierda y el número de “cambios” de cuantificadores. Una fórmula puede tener exactamente uno de los siguientes tipos.

1. [math] \ Sigma ^ 0_0 = \ Pi_0 ^ 0 [/ math] es una clase de fórmulas con cuantificadores acotados (como los que tiene en los ejemplos) solamente y de fórmulas equivalentes a los mismos.
2. [math] \ Sigma ^ 0_n [/ math] es una clase de fórmulas equivalente a una fórmula que comienza con algunos cuantificadores existenciales que alternan [math] n-1 [/ math] veces entre series de cuantificadores existenciales y universales. [math] \ Pi ^ 0_n [/ math] es una clase de fórmulas equivalente a una fórmula que comienza con algunos cuantificadores universales y se alterna de manera similar. Por ejemplo, [math] \ exist x_1 \ forall x_2 ([/ math] [math] P (x_1) \ supset P (x_2)) [/ math] pertenece a [math] \ Sigma ^ 0_2 [/ math].

Si permuta los cuantificadores de tal manera que no cambia el tipo de fórmula, tendrá una nueva fórmula equivalente a la anterior (este es un teorema que puede probarse en un cálculo de predicados). De lo contrario (siempre que la fórmula de los cuantificadores no sea una tautología <1>), en un caso general, obtendrá una fórmula que no es equivalente a la anterior.

<1> Esto se debe a que cualquier cuantificación de una tautología es una tautología.