Para un laico, ¿cómo podría uno explicar los problemas con la lógica aparentemente impecable de la paradoja de Aquiles y la Tortuga?

En primer lugar, es posible que Aquiles nunca se ponga al día con la tortuga . En el argumento original de Zenón no se menciona la velocidad o la velocidad.

De las paradojas de Zenón

El [segundo] argumento se llamó “Aquiles”, en consecuencia, por el hecho de que Aquiles fue tomado [como un personaje] en él, y el argumento dice que es imposible que alcance a la tortuga cuando la persigue. De hecho, es necesario que lo que es adelantar [algo], antes de adelantarlo, primero alcance el límite desde el cual se establece lo que está huyendo. En [el tiempo en que] lo que persigue llega a esto, lo que huye avanzará un cierto intervalo, incluso si es menor que lo que persigue avanzó … Y en el tiempo nuevamente en el que lo que está atravesando atravesará este [intervalo] que lo que está huyendo avanzó, en este tiempo nuevamente lo que está huyendo atravesará cierta cantidad … Y así, en cada tiempo en que lo que persigue atravesará el [intervalo] que lo que está huyendo, siendo más lento, ya ha avanzado, lo que está huyendo también avanzará un poco. (Simplicius (b) Sobre la Física de Aristóteles , 1014.10)

¿Cómo es posible que Aquiles nunca atrape a la tortuga?

Puedes configurar una situación en la que Aquiles siempre esté corriendo 10 veces más rápido que la tortuga pero nunca se ponga al día. Dale a la tortuga una ventaja de 11 millas.

Durante la primera hora, deje que la tortuga vaya 1 milla por hora y Aquiles 10 millas por hora. Al final de esa hora, la tortuga todavía estará 2 millas por delante de Aquiles.

Durante la segunda hora, deje que la tortuga avance 0.1 mph y Aquiles 1.0 mph. Al final, la tortuga estará a 1.1 millas por delante.

Tercera hora: tortuga 0.01 mph, Aquiles 0.1 mph. Tortuga estará a 1.01 millas por delante.

Cuarta hora: tortuga 0.001 mph, Aquiles 0.01 mph. Tortuga estará 1.001 millas por delante.

Puedes ver a dónde va esto. La tortuga siempre estará más de 1 milla por delante de Aquiles.

¿Cuál es el punto de este ejemplo?

Un punto es que no puedes refutar la paradoja a menos que hagas más suposiciones. Lo que se menciona en la pregunta servirá, a saber, Aquiles va a una velocidad constante mayor que la velocidad constante de la tortuga. (Tenga en cuenta que la constancia no es parte de la declaración original de Zeno).

El segundo punto es que realmente tienes que encontrar la falla en el argumento de Zenón. No sirve para explicar cómo Aquiles pasará la Tortuga. Necesitas separar el argumento de que Aquiles no puede pasar la Tortuga. Tienes que encontrar ese paso donde hay una brecha en el argumento, y ver que hay un principio implícito que Zeno estaba usando para llegar a su conclusión.

Luego debe abordar ese principio implícito y mostrar por qué no es válido.

Pero otras personas no estarán de acuerdo contigo porque piensan que Zeno estaba usando algún otro principio implícito.

No importa lo que hagas, algún filósofo moverá los postes invisibles y afirmará que no encontraste el principio implícito correcto para refutar. Es como si fueras Aquiles y los postes de la portería están sobre la espalda del filósofo Tortuga, siempre un poco por delante de ti.

Ninguna de las paradojas de Zenón son realmente paradojas, incluidas la paradoja de Aquiles y la Tortuga. Parece ser uno por la forma en que está escrito. Una paradoja ocurre cuando dos lógicas irrefutables resultan en conclusiones contradictorias.

Esto es lo que dice la paradoja de Aquiles y la Tortuga:

Aquiles está en una carrera con la tortuga. Aquiles le permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Si suponemos que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante (una muy rápida y otra muy lenta), luego de un tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga.

Durante este tiempo, la tortuga ha corrido una distancia mucho más corta, digamos, 10 metros. Luego le tomará más tiempo a Aquiles correr esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más, y luego aún más tiempo para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga avanza. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, todavía tiene que ir más lejos.

Por lo tanto, debido a que hay un número infinito de puntos que Aquiles debe alcanzar donde la tortuga ya ha estado, nunca puede alcanzar a la tortuga.

Fuente

Poner el problema de esta manera muestra que Aquiles nunca podrá adelantar a la tortuga. Pero intuitivamente sabemos que eso no es cierto. Por lo tanto, parece ser una paradoja debido a la conclusión contradictoria.

Sin embargo, la lógica de Zeno es refutable. Probémoslo.

# 1] Puntos infinitos no significa una distancia infinita

Zeno es injusto con Aquiles porque solo está mirando un punto en su línea de distancia en lugar de la línea en su conjunto. Y decir que tendrá que cruzar puntos infinitos no significa que no pueda cruzar la distancia.

Mira esta recta numérica.

Fuente

¿Cuántos puntos crees que hay entre 0 y 1?

Tienes razón, hay infinitos puntos entre 0 y 1.

Suponga que comienza en 0 y necesita llegar a 1. Antes de llegar a 1, deberá llegar a 0.5. Pero antes de hacerlo, deberás llegar a 0.25. Sin embargo, no puede llegar a 0.25 hasta llegar a 0.125. Y así. Nunca terminará con esta lógica, porque hay infinitos puntos entre estos dos puntos.

¿Por lo tanto nunca llegarás al punto 1?

La falla con esta lógica es que el espacio no se puede dividir en puntos .

# 2] Es posible calcular una suma finita de puntos infinitos

Supongamos que no me crees e insistes en enumerar puntos infinitos . Matemáticamente hablando, es posible calcular la suma de puntos infinitos.

En el ejemplo anterior, descubrimos muchos puntos.

[matemáticas] 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 … [/ matemáticas]

Insiste en creer que tendremos que cubrir todas estas distancias antes de llegar a una. Entonces, ¿cuánta distancia total crees que tendremos que recorrer? Supongamos que necesitamos cubrir la distancia “D” en su conjunto .

[matemáticas] D = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… [/ matemáticas]

¡Esto es simple! Multiplicamos ambos lados por 2

[matemáticas] 2D = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16… [/ matemáticas]

Podemos ver que ambas secuencias son infinitas . En realidad, si queremos, podemos restar el primero del segundo. Así es como se ve:

[matemática] 2D – D = (1 + 1/2 + 1/4…) – (1/2 + 1/4…) [/ matemática]

[matemáticas] D = 1 [/ matemáticas]

Llegamos a la conclusión de que es posible que los puntos infinitos tengan una suma finita .

Esto es matemáticamente demostrable, y esta paradoja estaba equivocada porque pretendía generar puntos infinitos para demostrar que la suma será infinita. Eso no es cierto.

Además, piensa en esto. Hay puntos infinitos entre 0 y 1, y hay puntos infinitos entre 0 y 2. Pero sabemos que los puntos entre 0 y 2 son más que los puntos entre 0 y 1. Aunque ambos son infinitos.

En el libro The Fault in Our Stars, John Green lo pone acertadamente: algunos infinitos son más pequeños que otros infinitos. Esto ayuda a demostrar que los puntos infinitos pueden tener una suma finita.

Otras respuestas a esta pregunta han presentado esta imagen que ayuda al caso:

Fuente

Vemos que hay infinitas áreas más pequeñas en el cuadrado anterior, pero también sabemos que el área total de todos esos cuadrados es finita . Esto suena intuitivamente incorrecto, pero no lo es. Aquiles y la paradoja de la tortuga funciona de la misma manera.

# 3] No estamos mirando el tiempo que toma

En la llamada “paradoja”, solo estamos viendo la distancia, no el tiempo tomado.

Dejame explicar. Aunque Aquiles tiene que cubrir un número infinito de puntos, la distancia entre esos puntos se reduce constantemente. Y sabemos que Aquiles viaja a una velocidad constante .

[matemáticas] Velocidad = Distancia / Tiempo [/ matemáticas]

Si la velocidad es constante y la distancia está cayendo, ¿qué pasa con el tiempo empleado? El tiempo que Aquiles tarda en llegar al siguiente punto también se está reduciendo. Esto es obvio, pero piénsalo. Tendrá que tomar infinitos períodos de tiempo, que se reducen constantemente. Por lo tanto, su tiempo empleado se reduce continuamente .

Aunque hay “un número infinito de períodos de tiempo”, el valor de esos períodos de tiempo también es “infinitamente pequeño”. Llegará un punto, aunque después de infinitos puntos , cuando el tiempo se vuelva cero .

La paradoja dice dos cosas: (1) Aquiles tendrá que cubrir un número infinito de períodos de tiempo para llegar a la tortuga; por lo tanto (2) Aquiles nunca llegará a la tortuga

Mientras que la primera oración es correcta, la segunda no lo es. Aquí es donde falla la paradoja.

Decir que Aquiles “nunca” cruzará la tortuga sugiere que Aquiles tomará “una cantidad infinita de tiempo” para cruzar la tortuga, pero ese no es el caso.

Me gusta este problema porque es solo un juego de palabras. Las personas son engañadas para creerlo. No hay paradoja aquí. La forma en que fue escrita está mal .

La capacidad o incapacidad para medir el tiempo y el espacio no es la parte importante aquí. La parte importante aquí es que una serie infinita puede tener una suma finita.

Digamos que toma un tiempo t para correr la primera mitad de la carrera. Luego, correr la mitad de la parte restante de la carrera llevaría tiempo t / 2, y correr la mitad del siguiente tramo tomaría tiempo t / 4, tal como Matt Harbowy explica anteriormente. Entonces corres la mitad de la carrera en el tiempo t, luego la mitad del resto en t / 2, luego la mitad del resto en el tiempo t / 4, luego la mitad del resto en el tiempo t / 8, y así sucesivamente.

Si suma todos esos tiempos: t + t / 2 + t / 4 + t / 8 + t / 16 +… + t / infinito, el resultado no es una cantidad de tiempo infinita. Es 2T En otras palabras, correr toda la carrera requiere el doble de tiempo que correr la mitad.

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Como la mayoría de las ‘paradojas’, la de Aquiles y la tortuga se basan en que el narrador confunda dos ideas en la mente del oyente.

Una idea es la de un número infinito de cosas y la otra es una cantidad infinita de algo. Puedes tener un número infinito de cosas sin tener una cantidad infinita.

Tome un pastel, llamémoslo pastel 1. Ponga la mitad de un lado y llame al otro pastel 2.

Tome el pastel 2, ponga la mitad de él en un lado y llame al otro pastel 3.

Haz esto indefinidamente.

Sabemos que a pesar de que hay un número ilimitado de pasteles 1, 2, … solo hay un material para el pastel.

Una vez que esta distinción, entre número y cantidad es clara, entonces no hay paradoja.

Alternativamente, Peter Lynds ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pet …) argumenta que la paradoja de Zenón muestra que el espacio y el tiempo no pueden medirse exactamente. Es decir, en algún momento existe un límite lógico para la precisión de cualquier medición.

Hay una corroboración de eso en el Principio Holográfico ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hol … el HP requiere que el espacio y el tiempo solo sean divisibles de forma finita ya que toda la información sobre un volumen (ya sea un agujero negro o cualquier otro cerrado) volumen de espacio-tiempo) es definible en la superficie del volumen. Por lo tanto, el volumen debe tener subdivisiones que no sean infinitesimales. Un pensamiento es que serían de la escala de distancia de Planck (que es MUY pequeña pero no cero).

El físico de Fermilab Craig Hogan afirma que el principio holográfico puede implicar fluctuaciones cuánticas en la posición espacial que conducirían a un ruido de fondo aparente o ruido holográfico medible en detectores de ondas gravitacionales, en particular GEO 600

Entonces, si esto es cierto, entonces el límite para la medición del tiempo y el espacio es el tamaño de las subdivisiones del espacio-tiempo. Esto resuelve la (s) paradoja (s) de Zeno ya que en algún momento (quizás después de la última subdivisión del espacio-tiempo) estás en la última subdivisión antes de la meta / objetivo. La única opción es permanecer o moverse hacia la meta / objetivo. Entonces descubres que has llegado o ganado o que la flecha da en el blanco, o lo que sea. Y así es como vemos que el universo realmente funciona.

No es una paradoja, es una declaración falsa de hechos. Aquí hay un gráfico de lo que realmente está sucediendo.

Pongámoslo de esta manera. Una bala puede “correr” más rápido que tú. Si realmente crees en la Paradoja de Aquiles y la Tortuga de Zeno, ¿darías una ventaja de 100 yardas a un francotirador experto y asumirías que la bala que disparó desde un M98B a tu espalda, viajando a 3,100 pies por segundo, nunca podría atraparte? como te escapaste de el?

La única razón por la que la pobre tortuga no está cerca para desacreditar la llamada paradoja es que Aquiles lo pisoteó inadvertidamente y lo mató al pasar.

EDITAR: Acabo de encontrar una pregunta similar aquí: Para un laico, ¿cómo explicaría uno los problemas con la lógica aparentemente impecable de la paradoja de Aquiles y la Tortuga? Tiene algunas explicaciones matemáticas muy completas sobre el error que hace que la historia de Zeno parezca lógicamente sólida cuando en realidad no lo es.

No necesita ser explicado a un laico, porque incluso un laico puede ver que el experimento mental está manipulado. Se supone que cada una de esas divisiones son equivalentes entre sí, cuando se puede demostrar mediante una simple inspección que no lo son. Cuando corres, corres a una velocidad uniforme. Aquiles, sin embargo, corre solo hasta llegar a donde está la tortuga para cada uno de los pasos de tiempo infinito. Digamos, en un recorrido de 100 m, la tortuga comienza a la mitad, pero Aquiles es capaz de correr diez veces más rápido. Si la tortuga corre 1m cada minuto, entonces Aquiles corre 10m en un minuto

Aquiles, para llegar a donde comenzó la tortuga, debe correr durante 5 minutos para llegar a la mitad. En esos cinco minutos, está corriendo a 10 m / min, y la tortuga ahora está a 55 m.

Para luego recorrer esos 5 metros adicionales, debe correr durante medio minuto. Por lo tanto, el tamaño de su viaje se está reduciendo a una décima parte, pero de alguna manera, la pregunta parece decir que los dos viajes son de alguna manera equivalentes, cuando evidentemente no lo son.

Los corredores no son capaces de dar pasos infinitesimalmente pequeños: cada paso es finito y entero, un número entero y transmite a la persona una distancia finita. Demócrito tenía una buena respuesta para esto: imaginó una unidad indivisible de objetos y lo llamó un átomo.

El problema de cambiar sus unidades de medida arbitrariamente es uno de los problemas más confusos de realizar experimentos mentales.

Paradojas de Zenón: si el tiempo puede dividirse infinitamente (segundo, milisegundo (…) yoctosegundo, etc.), ¿eso significa que cada momento es infinito en sí mismo? Siempre que acepte la idea de que está contando pasos discretos, si está realizando algún tipo de transformación, debe mostrar el efecto de esa transformación.

En el primer paso de la paradoja de Zenón, Aquiles corre 50 m en 5 minutos. Si considero que es una “unidad”, entonces una segunda unidad que es idéntica lo lleva a la línea de meta. En la misma cantidad de unidades, la tortuga se mueve 10 m, y se puede demostrar que además de la ventaja que se le ha dado se requieren 50 unidades (2 contra 50, donde una segunda unidad para Aquiles es imposible sin ganar la carrera)

En el segundo paso de la paradoja de Zenón, una unidad de Aquiles mide 5 my dura 1/2 de minuto. Aquiles debe tomar diez de esas unidades para ir a la ida, pero solo una para la vuelta. Claramente, el tamaño de los conjuntos hasta el final no es el mismo (2 contra 20, pero en el segundo punto, Aquiles ha tomado 11 unidades, la tortuga solo 2), por lo que se supone que está hablando de divisiones equivalentes en el El primer y segundo “pasos” no son lo mismo: ha cambiado algunas de las unidades, pero no la escala del problema general.

En esencia, trata el esfuerzo de cada incremento como equivalente a una suposición de la redacción de la paradoja.

dado que Aquiles es 1/1 unidad de la tortuga en las unidades del primer tramo de la carrera, pero tiene 11/2 en el segundo tramo de la carrera si convierte el esfuerzo en unidades de trabajo equivalentes a escala, podemos ver el efecto de las unidades de esfuerzo con cada pierna si mantenemos todas las unidades idénticas, convirtiendo cada vez.

1/1 = 1 en ida
11/2 = 5.5 en la vuelta
111/3 = 37 en el tercer tramo
etc.

Debido a que estás obligando a Aquiles a consumir más unidades de esfuerzo con cada cambio de unidades en cada paso de la carrera, en el tercer paso has inclinado las unidades de esfuerzo necesarias para que sean 37 veces más difíciles para Aquiles en relación con la tortuga. Hacer un número infinito de unidades de trabajo solo lo convierte en un problema infinitamente difícil, lo cual es obvio: si cambio las reglas del juego cada vez más para uno de los jugadores, eventualmente perderán. Está arreglado a favor de la conclusión de Zenón

La idea del cálculo con infintestimales es que cada infintesimal es del mismo tamaño que cualquier otro infintesimal. Al hacerlo, no estás apilando las cartas contra Aquiles a medida que avanzas, y siempre se muestra que Aquiles gana.

Vamos a verlo en forma gráfica:

(No está en la escala adecuada)

En primer lugar, solo dibujando ambas parcelas para Aquiles y Tortuga podemos ver que Aquiles se pone al día con Tortuga en el punto s1 en t1 unidades de tiempo después del inicio. Ahí es donde supera a Tortuga y gana la carrera.

Ahora, lo que hace la paradoja se muestra con líneas rojas aquí. Representan el texto de la pregunta en forma de diagrama. Puede ver cómo esos pasos se vuelven cada vez más pequeños mientras se acercan al punto de encuentro, pero en realidad nunca lo alcanzan. Podríamos acercarnos infinitamente y trazar más y más pasos y permanecería igual. De hecho, ese es el truco. La paradoja examina los puntos consecuentes en el tiempo, pero no están distribuidos linealmente sino más bien logarítmicamente. El observador nunca tiene el coraje de ver directamente en el momento en que ocurre el evento, sino que se acerca constantemente sin alcanzarlo.

Espero que esto tenga sentido.

No creo haber visto a nadie decir esto:

La paradoja de Zenón solo existe dentro de las matemáticas. Aquiles y la tortuga no se están ejecutando en el mundo matemático, se están ejecutando en el mundo real. La paradoja de Zenón tiene una lógica impecable: los matemáticos saben cómo sortearla para hacer lo que tienen que hacer.

La prueba de Euclides de la congruencia de isósceles se topó con la paradoja de Zenón. La paradoja de Zenón no se considera falaz, pero se evita como la peste debido a los restos que provocará en cualquier prueba matemática. Explicado aquí: una forma de eludir la paradoja de Zenón para probar la congruencia

“El movimiento suave se entiende mejor en términos de cosas que se mueven a través de puntos, con una velocidad específica, en lugar de entre ellos”.

Como postgrado, cuando discutía la paradoja de Zenón, un matemático bien conocido me advirtió que no “confundiera la aritmetización del análisis con el análisis mismo”. Su punto de vista era que los cálculos que realizamos con series infinitas (como se dan en las respuestas aquí), aunque ciertamente válidos y rigurosos, en cierto sentido no “resuelven la paradoja”; más bien, sintió que el contenido positivo implícito de la paradoja de Zeno es que el movimiento es elemental y no puede reducirse sensiblemente solo a una sucesión de estados, es decir, no podemos hablar de un “movimiento” atómico que tenga estados iniciales y finales y esperemos construir caminos completos mediante la concatenación de una serie infinita de tales “piezas de movimiento” (a diferencia de los sistemas discretos, que se pueden modelar de esta manera). Para modelar el movimiento tenemos el Cálculo (que nos permite integrar el movimiento sobre los caminos), y sus reglas / leyes fueron identificadas y utilizadas productivamente mucho antes de la aritmetización del análisis.

Al ir de un punto a otro, ocurre un número infinito de eventos: pasas por cada uno de los puntos infinitos intermedios, la llegada a cada punto es un evento. Esta noción es solo “sentido común” en estos días, pero desconcertó a los antiguos griegos de los días de Zenón. No sabían cómo medir la velocidad de un objeto. No fue sino hasta varios siglos después que Galileo hizo el avance intelectual dado por su fórmula simple [matemáticas] s = \ frac d {t} [/ matemáticas]. Entonces fue fácil calcular con precisión cuándo y dónde Achilles alcanzaría y pasaría a la tortuga (suponiendo velocidades constantes):

El tiempo para que Aquiles se ponga al día con la tortuga viene dado por [math] t = \ frac d {s_A – s_T} [/ math] donde [math] d [/ math] es la distancia de la cabeza de la tortuga, [math ] s_A [/ math] es la velocidad de Aquiles, y [math] s_T [/ math] es la velocidad de la tortuga.

Cualquiera que diga que esas paradojas tiene una solución obvia en términos de sumar series infinitas está profundamente equivocado.

La razón es que la base de las Matemáticas actualmente sufre una crisis, relacionada con problemas profundos en relación con el manejo de objetos infinitamente pequeños dentro de los axiomas de ZFC, para resolver eso, se habían introducido nuevos axiomas y un nuevo campo de las matemáticas, llamadas no -análisis estándar que trata de resolver eso, y dar una base más rígida para las definiciones de Cauchy de cantidades infinitesimales que se usan generalmente, sin embargo, hasta ahora no hay una solución final.

Solo por ejemplo, una solución son las mónadas introducidas por Robertson , que son objetos matemáticos no medibles, sin embargo, uniendo una cantidad infinita de ellos, da un número real medible, infinitamente pequeño.

Para el lego, explique que la raza no está dividida; en otras palabras, Aquiles no se detiene y espera que la Tortuga vaya un poco más allá.

Recrea la carrera sin la lógica desconcertante.

Para una carrera de 200 metros con Aquiles corriendo tranquilamente 5 metros por segundo, llegará a la línea final en 40 segundos.

Incluso si la tortuga viaja a 0.5 metros por segundo (asumiendo que el pobre está hambriento de sexo y una hembra de este tipo está en la línea de llegada), con una ventaja de 100 metros; obtendrá su recompensa en 200 segundos.

Aquiles 1; Zenón 0

La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga se basa en la falsa premisa de que el espacio es infinitamente divisible. Al llevar el concepto de la divisibilidad del espacio a su límite absurdo, la paradoja proporciona una prueba lógica de que el espacio no puede ser infinitamente divisible y que, de hecho, hay una unidad de algo (que alguna vez se pensó que era el átomo) que es el límite absoluto a la división del espacio.

Una vez que se entiende la premisa falsa en la paradoja de Zeno, Aquiles es fácilmente capaz de cruzar cualquier número de las unidades más pequeñas del espacio con mayor rapidez que la tortuga, y Aquiles gana fácilmente la carrera, mientras que Zeno se queda inmóvil en el puesto de observación, paralizado por su incapacidad para comprender la realidad.

Creo que la falla básica en su razonamiento es confundir acción con análisis. Aquiles y la tortuga corren a velocidades constantes, por lo que Achilles pasará la tortuga después de un tiempo finito, independientemente de cómo analicemos la carrera. Al acercarnos a escalas cada vez más pequeñas, no cambiamos ese hecho. Nuestra intuición se deja engañar por el hecho de que nos lleva tiempo analizar cada paso mientras hacemos zoom por pasos discretos; así que parece que debería llevar una eternidad. Pero si analizamos correctamente, debemos darnos cuenta de que en cada paso, no solo la distancia es menor, sino también el intervalo de tiempo. Si los usamos para calcular sus velocidades, siempre obtenemos las mismas respuestas y, por lo tanto, también el mismo tiempo que tomará Aquiles para pasar la tortuga.

También podemos ver esto de la siguiente manera. Si el tiempo y el espacio tienen unidades discretas más pequeñas, no podemos acercarnos a ningún nivel más pequeño que estos valores y el argumento se rompe. Si no tienen unidades más pequeñas pero son continuas, entonces obviamente podemos acercarnos a cualquier nivel, pero nuestros cálculos a partir de ese nivel aún darán las mismas velocidades y tiempos t. Nuestro acercamiento no hace que los dos competidores se muevan repentinamente en pasos discretos: siguen moviéndose continuamente y sin problemas.

Mucha gente está ofreciendo una solución de cálculo, pero no estoy seguro de que responda a la realidad subyacente o la respuesta más simple:

ese espacio NO es infinitamente divisible. que probablemente hay una unidad más pequeña de espacio y tiempo y que nada es realmente ‘analógico’ … que, en realidad, nada es un continuo continuo que sea infinitamente suave, sino que, si se llega a una escala lo suficientemente pequeña, todo es discreto.

Bueno, aquí hay una oportunidad … Salmo 103: 12
Tan lejos como el este está del oeste, tan lejos ha quitado nuestras transgresiones de nosotros.

Dios no dijo el norte desde el sur porque se conoce la altura de la tierra. El ancho también va de este a oeste, pero el mundo gira. Entonces, no importa dónde comience el pecado, se aleja de ti más rápido de lo que puedes medirlo horizontalmente porque perpetuamente se aleja y no puedes seguir hacia el Oeste con el mundo girando hacia el Este para medirlo. Esa es solo mi pequeña interpretación, pero Dios debe tener muchas razones y lógica más allá de mi comprensión para su elección de palabras. Lo mejor es que Aquiles (su talón montado en la tierra en dirección este) va más rápido que la tortuga (se dirige hacia el oeste para medir) y si llega al talón anclado en un año caminando por el mundo giratorio, ya ha sido lapeado 365 veces y continúa divergir al mismo ritmo para que la medida sea infinita.
Considerando un escenario diferente, haciendo malabarismos con tres bolas en el aire, las manos deben moverse más rápido que las bolas, pero todavía hay equilibrio a pesar del movimiento perpetuo o infinito de ambas manos (rápido) y las bolas (lento). Si una mano es demasiado rápida o demasiado lenta, la secuencia se colapsa. Así es en la naturaleza al comparar infinitos. Solo permanecen sincronizados mientras no se alcancen sus límites.

La respuesta básica es que el espacio no es infinitamente divisible. Una longitud de Planck es 1.6 × 10 ^ -36m. Nada se puede considerar como móvil si no se mueve de un Planck a otro. Esta es la unidad básica de cuantificación del espacio. Las ondas no son en realidad anológicas, sino digitales, que se mueven de un píxel a otro. Llamo a estos píxeles espacio quanta. El tiempo es el resultado de las interacciones entre los cuantos espaciales, por lo que tampoco es infinitamente divisible. Es difícil imaginar cuán pequeño es un quanta espacial. Imagine un grano de sal y ahora ese grano de sal es un universo entero en sí mismo, y dentro de ese universo hay otro grano de sal, que es del tamaño de un quanta espacial.

Movimiento relativo.
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¿Cómo calculan cuándo se encontrarán dos objetos que se mueven en la misma dirección a diferentes velocidades?

Un helicóptero que viaja a 33 m / s [S] en relación con el suelo (VHG) detecta un rebaño de renos que se mueve a 13 m / s [S] en relación con el suelo (VRG) a 2 km de distancia. ¿Cuánto tiempo les llevará encontrarse?

El tiempo es el mismo para ambos ===> t
La distancia es ===> 2 km = 2000 m
El helicóptero se está cerrando con el venado a (33-13 = 20 m / s
===> 20m / st = 2000m
t = 100 s
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Mismo principio