Las matemáticas se basan en la creencia en sus axiomas. ¿Qué pasa si estos axiomas están mal? ¿Se requeriría una prueba no matemática?

No debes pensar que los axiomas son correctos o incorrectos: definen las reglas del juego. No preguntas si las reglas del ajedrez son correctas o incorrectas; Si el juego que estás jugando no sigue las reglas del ajedrez, eso solo significa que no estás jugando ajedrez.

Sin embargo, puedes preguntar si las reglas tienen sentido, no quieres que se contradigan. Si tienes una regla que dice “las torres solo pueden moverse en casillas negras”, y otra regla que dice “si un peón mueve dos casillas, mueve una torre a una casilla blanca”, tienes un problema (a menos, supongo, peones nunca muevas dos cuadrados).

Probar que no es posible derivar contradicciones de sus axiomas es un problema difícil (es decir, son consistentes). Si tienes mucha suerte, tus axiomas pueden admitir modelos finitos, en cuyo caso sabes de inmediato que deben ser consistentes. Por ejemplo, los axiomas de grupo son ciertamente consistentes ya que [matemática] \ {1 \} [/ matemática] junto con la multiplicación, ya que la operación es un grupo (que puede verificar simplemente escribiendo su tabla de multiplicación completa).

Si tiene un poco menos de suerte, es posible que sus axiomas no admitan ningún modelo finito, pero es posible que pueda encontrar algún algoritmo que determine la verdad de las declaraciones realizadas con sus axiomas. Tal es el caso de los axiomas de Tarski para la geometría elemental.

Si tiene mala suerte, sus axiomas podrán expresar verdades sobre aritmética (en un sentido definido con precisión). Este es el caso de los axiomas de Peano y la teoría de conjuntos estándar, por ejemplo. En este caso, los teoremas de incompletitud impiden una prueba basada en una serie finita de deducciones lógicas estándar. Hay algunas formas de evitar esto: por ejemplo, si permite la inducción transfinita (piense en la inducción estándar con esteroides), puede usarla para probar la consistencia de los axiomas de Peano. En resumen, podemos hacer argumentos sobre por qué estos tipos de sistemas axiomáticos son consistentes, pero son de un tipo más débil de lo que usualmente usamos.

En los días de Euclides, propuso tres tipos de declaraciones matemáticas: axiomas, postulados y teoremas.

Los axiomas eran verdades evidentes, como una línea recta que divide el plano en dos partes.

Los postulados eran verdades menos evidentes. Pero declaraciones necesarias que no se pudieron demostrar a partir de los axiomas mediante el uso de inferencia lógica y matemática.

Un ejemplo de un postulado es aquel dado una línea recta y un punto fuera de ella. Hay una y solo una línea paralela a la dada. (Este fue su quinto postulado).

Luego están los teoremas (y lemas, corolarios, etc.) Estas fueron las afirmaciones que podrían demostrarse (probadas) por inferencia lógica y matemática de los axiomas, postulados y teoremas anteriores.

Durante muchos siglos, la gente pensó que la geometría de Euclides era un reflejo de la realidad física, y los matemáticos trataron de averiguar si los postulados de Euclides eran afirmaciones fundamentales reales o podían derivarse (demostrarse).

Hasta justo en la era moderna, en un intento de demostrar el quinto postulado ad absurdum de Euclides (negarlo y esperar una contradicción), los matemáticos descubrieron que no solo el postulado negado no producía contradicción, sino que en realidad producía una geometría diferente consistente.

Un ejemplo de una geometría diferente, que la gente ya conocía, era la geometría esférica. En la superficie de una esfera, no hay líneas rectas paralelas: lo más cercano a una línea recta es un círculo mayor, y no hay círculos mayores paralelos. Pero la gente creía que la geometría esférica era el reflejo de la geometría tridimensional euclidiana sobre la superficie de una esfera. Al comprender que puede describir la geometría esférica postulando su propio conjunto de axiomas, puede ahorrar algo de trabajo.

La distinción entre postulados y axiomas se volvió irrelevante. Básicamente había dos tipos de declaraciones: fundacionales y derivadas. Las declaraciones fundamentales son los axiomas y las definiciones, y las declaraciones derivadas son los teoremas, lemas, leyes y corolarios (son todos iguales, solo que las personas usan nombres diferentes para centrarse en diferentes niveles de aplicabilidad o cómo algunas declaraciones se relacionan con cada uno otro).

Luego vino la teoría de la relatividad y la física cuántica que nos mostró que el universo no es euclidiano.

Entonces, un axioma no es más que una declaración que haces, a partir de la cual exploras qué conclusiones puedes sacar.

Los axiomas no necesitan coincidir con la realidad. No pueden estar equivocados al no reflejar la realidad o algo así. No tienen que hacerlo. Solo estaría mal si un axioma propuesto produce una contradicción con otros axiomas en un campo determinado.

Algunos conjuntos de axiomas producen algunos resultados interesantes, productivos y útiles. Algunos no lo hacen. La mayoría de las matemáticas, particularmente en estadística, ingeniería y ciencias, se basan en aritmética tradicional, álgebra, geometría y cálculo y sus axiomas, muchos de los cuales se basan en la teoría de conjuntos. Esos son los campos tradicionales de las matemáticas. Y hasta ahora son útiles, por lo que la gente sigue usándolos.

Pero puede crear cualquier otro campo de las matemáticas definiendo sus propios axiomas. Simplemente verifique que los axiomas no se contradigan entre sí. Puede ramificar su campo postulando un nuevo axioma (que no contradiga a los anteriores) y su opuesto.

Quizás descubras un nuevo campo matemático interesante. (Y luego, algún físico o algún estadístico decide que es útil). O tal vez es solo un conjunto aburrido de declaraciones sin resultados interesantes. Pero, no estaría mal.

Bueno, eso es lo matemático (y la lógica en general): no se puede demostrar por sí mismo [1].

Por lo tanto, debe aceptar ciertos axiomas y definiciones, y otras cosas se deducen de esto, por ejemplo, si acepta la definición de números naturales [2], se deduce que deben ser infinitos porque siempre puede encontrar un número siguiente. Si piensa en las propiedades de estos números, puede encontrar otras cosas que deben ser verdaderas, por ejemplo, si define números con dos divisores como primos, se deduce que son infinitos [3] y constituyen la mayoría de los demás números [ 4].

Pero la mejor prueba para las matemáticas es el hecho de que funcionan. Es una especie de misterio por qué funcionan tan bien [5] (creo que Einstein lo dijo muy bien “Lo más incomprensible del universo es que es comprensible”). Pero funciona, podemos predecir cosas con Matemáticas como el movimiento de cuerpos celestes (bueno, no por toda la eternidad), pero por un par de años, por ejemplo, sabemos que el 21 de agosto de este año habrá un eclipse solar [6] sobre América del Norte.

Notas al pie

[1] Teoremas de incompletitud de Gödel – Wikipedia

[2] Axiomas de Peano – Wikipedia

[3] Teorema de Euclides – Wikipedia

[4] Teorema fundamental de la aritmética – Wikipedia

[5] La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales – Wikipedia

[6] Eclipse solar del 21 de agosto de 2017 – Wikipedia

Bueno … las matemáticas funcionan aproximadamente de esa manera: dado un conjunto de axiomas, usamos la lógica para deducir nuevos teoremas de ellos. Si conducen a una paradoja (la situación en la que la declaración y su oposición pueden deducirse del mismo conjunto de axiomas), el conjunto de axiomas se descarta y seleccionamos un nuevo conjunto.

El buen ejemplo es la ingenua teoría de conjuntos hecha por Cantor. Sus axiomas no eran buenos ya que permitían una paradoja. La conocida paradoja de Russel. Yo te mostraré:

1. Considere un conjunto A rojo si [matemáticas] A \ en A [/ matemáticas], es decir, A es un elemento de A (no un subconjunto , sino un elemento), es decir , [matemáticas] A \ en R \ Leftrightarrow A \ en A [ /matemáticas]
2. Considere todos los demás conjuntos azules , es decir, [matemática] A \ en B \ Leftrightarrow A \ notin A [/ math]

La pregunta es el conjunto de todos los conjuntos azules (B) azules , es decir, ¿[math] B \ in B? [/ Math]

1. [matemáticas] B \ en B \ Flecha derecha B \ en R \ Flecha derecha B \ notin B [/ matemáticas] (si B es azul, entonces B tiene B como elemento, por lo tanto B es rojo ).
2. [math] B \ notin B \ Rightarrow B \ in B [/ math] (si B no es azul, entonces B no es un elemento de B, pero eso significa exactamente que B es azul ).

Entonces tenemos una paradoja. Así, la ingenua teoría de conjuntos es incorrecta. Utilizamos el Zermelo – Fraenkel que no permite las paradojas mencionadas al menos.

Originalmente, un axioma era algo que todos aceptarían como verdadero, obvio e incontrovertido.

Los axiomas ya no se consideran de esa manera. No se deben creer. Un axioma se entretiene tentativamente para averiguar a dónde conduciría. Diferentes conjuntos de axiomas definen diferentes ramas de las matemáticas.

¿Quieres decir que si Euclides postulara que hay exactamente una línea paralela a una línea dada que pasa por un punto dado, y que resultó ser incorrecto, eso pondría las matemáticas en confusión? Absolutamente no, así es como se formaron la geometría riemanniana en una esfera (que contiene el número cero) y la geometría lobachevskiana en un plano hiperbólico (que postula que el número es infinito). Y esas geometrías no euclidianas son de una manera más real que la versión más familiar.

Hay 2 formas en que podemos pensar que un axioma está equivocado.

La primera es la interpretación ingenua de que un axioma que no describe el mundo real está mal. De hecho, hubo un debate bastante pesado sobre el axioma de elección, si realmente ‘tenía sentido’ como axioma.

En última instancia, el propósito de las matemáticas ciertamente no está vinculado al mundo real y no cumplir con lo que podríamos esperar en realidad no hace que un axioma se equivoque. Sin embargo, significa que debe tener cuidado con lo que, en todo caso, puede inferir sobre el mundo a partir de su trabajo.

Hay una segunda y mucho más fundamental forma en que algo puede estar mal; Es contradictorio.

Es decir, hay algo que puedes probar que es verdadero y falso a partir de tus axiomas. Como un ejemplo realmente simple, el conjunto de axiomas [matemática] 1 = 0 [/ matemática] y [matemática] 1 \ neq 0 [/ matemática] son ​​contradictorios, no pueden ser ambos verdaderos a la vez.

Esto realmente sería un problema, y ​​desafortunadamente una de las consecuencias de los teoremas de incompletitud es que nunca podemos probar que un conjunto de axiomas (suficientemente complicados) sean consistentes (no contradictorios) usando los axiomas mismos. Podemos (en teoría) demostrar que son consistentes con un conjunto más grande de axiomas, pero luego hemos transferido el problema a un conjunto diferente de axiomas.

En última instancia, si hay una contradicción en sus axiomas, no está realmente claro qué sucedería. Honestamente, creo que podríamos pasarlo por debajo de la alfombra moviéndonos a un conjunto ligeramente diferente donde no ocurra la inconsistencia. Es poco probable que cambie mucho, en todo caso, a cualquier nivel que no sea uno fundamental.

Un axioma no puede ser declarado como incorrecto. Simplemente se acepta como es.

Si se refiere a axiomas ZFC, ya que son ampliamente aceptados como los fundamentos de nuestras matemáticas diarias:

El truco está en la palabra “diariamente”. Esos axiomas producen una forma matemática que no se contradice con lo que observamos en nuestras vidas. Es como si el universo también hubiera aceptado esos axiomas. Como si, el propio hardware del universo utilizara estos axiomas como instrucciones de chipset diseñadas por su CPU.

Puede haber otros universos que usan otros axiomas que son la base de su “otro conjunto de chips” que usa hardware. Y en esos universos tal vez una persona agrega 1 manzana a otra y de repente tiene 3 manzanas en sus manos. Extraño para nuestro universo, pero puede ser la norma en otros lugares.

La respuesta corta es que las matemáticas están hechas por el hombre y los axiomas son las reglas y no pueden estar equivocados. Los griegos y los romanos usaban letras, pero sus + – * / eran iguales. Utilizamos la base árabe 10, que parece ser la más fácil de entender y trabajar. Los árabes introdujeron ‘0’ y se tuvieron que establecer reglas al respecto para detener una cierta paradoja. La división por 0 no está permitida. ¿Por qué ?, seguramente si divide un número por nada, ¿todavía tiene el número original? Ahora, 6/0 sigue siendo 6. 6/0 = 6. Pero 6/1 = 6. por lo tanto 0 = 1. lo mismo con * 6 multiplicado por nada sigue siendo 6

La pregunta dice: “¿Se requeriría una prueba no matemática?” Bien, entonces, ¿cómo sabremos que esa prueba es correcta? No podemos Por fin, todo se reduce a axiomas. No podemos seguir probando algo para siempre, debemos tener algunos axiomas. ¿Y qué si esos axiomas están equivocados?

Tenga en cuenta que no he dado una respuesta completa y bien organizada, porque esas cosas ya se mencionaron en esta pregunta.

Los axiomas no son verdaderos ni falsos, solo puede adoptarlos o rechazarlos en su sistema formal. No necesitan pruebas.