¿Cuál es la suma de n términos de una serie de Fibonacci?

Puede visualizar la suma convirtiéndola en un pequeño juego con monedas de un centavo. Aquí hay un video que acabo de hacer. (3:00 de longitud)

[matemática] \ sum ^ {n} _ {i = 1} F_i = F_ {n + 2} – 1 [/ matemática] donde [matemática] F_n [/ matemática] es el enésimo número de Fibonacci.

La prueba es solo una inducción directa.

Editar: dado que había cierta confusión aquí, estaba comenzando en [matemáticas] F_1 = 1 [/ matemáticas].

Hagamos esto de una manera diferente: considere la fórmula de Binet
, y suma eso sobre los enteros 1-n. Para resumir menos términos, tenga en cuenta que la fórmula de Binet es el equivalente a decir que el enésimo número de Fibonacci es dos veces el coeficiente de [math] \ sqrt 5 [/ math] en [math] \ varphi ^ n [/ math], donde phi es proporción áurea Entonces podemos simplemente sumar [math] \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ varphi ^ i [/ math] y encontrar el coeficiente raíz 5 en eso. Como es una serie geométrica, la suma es [matemáticas] \ frac {\ varphi (\ varphi ^ n-1)} {\ varphi-1} [/ math]. Simplificando la parte simplificable: [math] \ frac {\ varphi} {\ varphi-1} = \ frac {3+ \ sqrt 5} {2} [/ math]. Queremos encontrar el doble del coeficiente radical en [matemáticas] \ frac {(3+ \ sqrt 5) (\ varphi ^ n-1)} {2} [/ matemáticas] que se parece a: 3a + b-1, donde a es el coeficiente de la raíz 5 en phi ^ n, b es la parte racional. Podemos simplificar aún más: [math] \ varphi ^ n = b + a \ sqrt 5 [/ math] Multiplicar por [math] \ varphi ^ 2 = \ frac {3+ \ sqrt 5} {2} [/ math]. Entonces, [math] \ varphi ^ {n + 2} = \ frac {3b + 5a + (3a + b) \ sqrt 5} {2} [/ math]. El doble del coeficiente radical aquí es 3a + b, lo que implica que 3a + b es el número (n + 2) de Fibonacci, llegando al [matemático] F_ {n + 2} -1 [/ matemático] esperado.

F (n) = F (n + 2) – F (n + 1)
F (n-1) = F (n + 1) – F (n)
. . .
. . .
. . .
F (1) = F (3) – F (2)
——————————————
suma = F (n + 2) – F (2)…. sumando todas las ecuaciones

En el lado derecho, quedan los elementos superior izquierdo e inferior derecho. Otros se cancelan. El lado izquierdo es la suma de los números de Fibonacci.

Así,
suma = F (n + 2) – 1

Otras respuestas son correctas también. Pero, esta es otra técnica que podría usarse en otros lugares.

Estoy usando las técnicas descritas a continuación por Devendra Shelar y Sai Dhanireddy.
Es fácil seguir la respuesta de Devendra para obtener:
suma = F (n + 2) – F (2)

Ya sabes F (2) = 1

Usando la fórmula de Binet de http://en.wikipedia.org/wiki/Jac …

puedes calcular F (n + 2),

Ahí tienes, ¡ahora tienes una expresión de forma cerrada!

Tiene algo que ver con la fórmula de Binet que puedo decirle, pero antes de llegar a eso, permítame presentarle el método de la función generadora sobre cómo encontrar los términos enésimos de la serie a continuación,

[matemáticas] F_ {n + 1} = F_ {n-1} + F_ {n}, [/ matemáticas] para [matemáticas] F_0 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] F_1 = 1 [/ matemáticas]

Aprendí este método bastante tiempo. Y creo que personalmente esta es la mejor manera de probar la fórmula Fibonacci de binet mediante la función de generación. Ok, entonces aquí está.

Escriba la fórmula implícita original:

[matemáticas] F_ {n + 1} = F_ {n-1} + F_ {n}, [/ matemáticas] para [matemáticas] F_0 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] F_1 = 1 [/ matemáticas]

Luego, sume ambos lados de la ecuación después de multiplicar cada término con [matemática] x ^ n. [/ Matemática] Más o menos irá así,

[matemáticas] \ sum {F_ {n + 1} x ^ n} = \ sum {F_ {n-1} x ^ n} + \ sum {{F_n} x ^ n} [/ matemáticas]

Ahora si la función generadora de [math] F (x) = \ sum {F_n} x ^ n [/ math]

entonces [matemáticas] \ sum {F_ {n + 1} x ^ n} = \ frac {F (x) -x} {x} [/ matemáticas] también, tenemos

[matemáticas] \ sum {F_ {n-1} x ^ n} = xF (x) [/ matemáticas]

Desde aquí tenemos,

[matemáticas] \ frac {F (x) -x} {x} = xF (x) + F (x) [/ matemáticas]

Y entonces tenemos la función generadora de la serie Fibonacci,

[matemáticas] F (x) = \ frac {x} {1-xx ^ 2} [/ matemáticas]

Es posible que haya notado que la fórmula explícita de la función generadora dada es el coeficiente de [math] x ^ n [/ math] en [math] F (x) = \ sum {{F_n} x ^ n} [/ math] .

Con la solución, aquí viene la parte más complicada de todas. Necesitamos factorizar el numerador de [math] \ frac {x} {1-xx ^ 2} [/ math]. Aquí va,

[matemáticas] F (x) = \ frac {x} {1-xx ^ 2} = \ frac {x} {(1-px) (1-qx)} = \ frac {1} {\ sqrt {5} } (\ frac {1} {1-px} – \ frac {1} {1-qx}) [/ math]

Desde aquí, tome [math] | x | <1 [/ math] tenemos

[matemáticas] F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (\ sum {p ^ nx ^ n} – \ sum {q ^ nx ^ n}) [/ matemáticas] podemos extraer el coeficiente de [math] x ^ n [/ math] y asígnelo como la fórmula del número de Fibonacci de binet, es decir,

[matemáticas] F_ {n} = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (p ^ nq ^ n) [/ matemáticas]

Ahora [math] F_ {n} [/ math] es el enésimo término de la serie de Fibonacci o la fórmula explícita del número de Fibonacci donde [math] p = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] q = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2}. [/ matemáticas]

Supongo que es todo de mi parte si tiene una pregunta en la sección de comentarios a continuación, ¡en paz!