[Es un tanto difícil saber de su pregunta exactamente con qué confusión está lidiando y, por lo tanto, qué es exactamente lo que espera encontrar aclarado. Daré una respuesta genérica “Qué son los polinomios” por ahora, pero si aclara su pregunta, puede obtener una respuesta más específica para sus inquietudes específicas]
Un polinomio es cualquier operación que transforma entradas a salidas que puede construir a partir de combinaciones de suma, multiplicación y valores fijos.
Por ejemplo, una operación es la que toma dos entradas y las agrega. Si llama a las entradas [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], entonces este es el polinomio [matemático] A + B [/ matemático].
Otro polinomio es el que toma tres entradas (llámelas [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática]), y calcula [matemática] (x + 2) * y * x + z * (-3 + y) [/ matemáticas]. Cualquier operación construida a partir de la suma, la multiplicación y los valores fijos (como el 2 y el -3 en este ejemplo) es un polinomio.
Esos ejemplos tomaron múltiples entradas. Pero se presta mucha atención al caso en el que solo hay una entrada. De hecho, se presta tanta atención a este caso que, en ciertos contextos, “polinomio” se usa para significar simplemente “polinomio con una entrada”. Entonces, déjenme dar algunos ejemplos de ese tipo ahora:
Una operación que toma solo una entrada es la que agrega esa entrada al valor fijo 7, y luego multiplica el resultado por la entrada original. Si llama a la entrada [math] x [/ math], entonces este es el polinomio [math] (x + 7) * x [/ math].
Otra operación es la que solo toma una entrada, la multiplica por sí misma, luego la agrega a la entrada original multiplicada por el valor fijo 7. Si llama a la entrada [math] x [/ math], entonces este es el polinomio [matemáticas] x * x + x * 7 [/ matemáticas].
Pero por las propiedades de suma y multiplicación, estas dos últimas operaciones siempre se comportan de la misma manera; para cualquier entrada, producen la misma salida. Entonces decimos que [matemáticas] (x + 7) * x [/ matemáticas] y [matemáticas] x * x + x * 7 [/ matemáticas] son polinomios iguales; son simplemente representaciones diferentes de la misma cosa.
Resulta que cualquier polinomio tiene una representación (de hecho, esencialmente única) como una suma de valores fijos multiplicados por productos de potencias de las entradas. [Un poder es simplemente algo multiplicado por sí mismo varias veces]. Por ejemplo, la operación que acabamos de comentar también se puede escribir como [matemática] 0 * x ^ 0 + 7 * x ^ 1 + 1 * x ^ 2 + 0 * x ^ 3 + 0 * x ^ 4 +… [/ matemática ], con todos los ceros a partir de ahí. Escrito en el otro orden sin ceros iniciales, es [matemática] 1 * x ^ 2 + 7 * x ^ 1 + 0 * x ^ 0 [/ matemática].
Para un polinomio con solo una entrada, esto se parece mucho a la notación decimal: es como si el dígito de las unidades es 0, el dígito de 10 es 7, el dígito de 100 es 1, el dígito de 1000 es 0, etc. Pero cambiando el valor de la entrada [math] x [/ math] cambia la base para interpretar esto con respecto a. [Cuando la entrada [matemática] x = 10 [/ matemática], la salida de este polinomio es solo 170, como se obtendría al leer los dígitos].
Esa no es la única forma estándar útil en la que puedes poner un polinomio. Resulta cierto que a menudo, un polinomio con solo una entrada también tiene una representación como un valor fijo multiplicado por un montón de factores de la forma [math] (x – k) [/ math], donde [math] x [/ math] es la entrada y [math] k [/ math] es algún valor fijo. Puede leer mucha información sobre el polinomio directamente de esta representación: sabe que genera cero exactamente cuando la entrada es [math] k [/ math] de algún factor.
De hecho, cuando se trabaja con números complejos, cada polinomio de una entrada se puede poner en esta forma (de nuevo, esencialmente de una manera única). Pero todo esto es solo encontrar diferentes formas de representar y analizar polinomios de una entrada; la idea básica sigue siendo, como dije, las operaciones (formas de convertir la entrada en salida) desarrolladas a partir de la suma, la multiplicación y los valores fijos.
