Tienes razón en que [matemática] x = 0 [/ matemática] es una solución de [matemática] 4 + x = 4 \ times2 ^ x [/ matemática], pero queremos saber si hay más soluciones. Podemos aportar algunos conocimientos para descubrir cuántas soluciones podría haber, y luego cuántas hay y, si hay otra solución, cuál es (o al menos un intervalo de límite).
Primero, podemos trazar gráficos de [math] y = \ mathrm {LHS} [/ math] y [math] y = \ mathrm {RHS} [/ math] en el mismo conjunto de ejes, y donde se cruzan nos dice dónde Las soluciones mienten. Esto es aproximado y depende mucho de la precisión con la que graficamos las cosas. Pero incluso si no somos exactamente correctos, podemos aprender cualitativamente cuántas soluciones podría haber.
El lado derecho es un exponencial con coeficientes positivos de la base y el exponente, por lo que es positivo y su valor aumenta con el aumento de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Por lo tanto, está curvado “hacia arriba”, o (en cierto sentido) abultando ligeramente hacia la derecha. Nunca se vuelve sobre sí mismo a menos que lo incline (que es exactamente como se ve desde la perspectiva de la función lineal en el lado izquierdo).
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El lado izquierdo es solo una línea recta que pasa por [matemáticas] (0,4) [/ matemáticas] y [matemáticas] (- 4,0) [/ matemáticas]. Si arreglamos la curva en el lado derecho y cambiamos [matemática] 4 [/ matemática] a alguna variable [matemática] c [/ matemática], podemos ver que desplazar la curva hacia abajo lo suficiente significa que podría no haber puntos de intersección . Si aumentamos [matemática] c [/ matemática] para levantar la curva, puede haber como máximo dos puntos de intersección (porque el exponencial no se curva sobre sí mismo). Entonces hay un valor intermedio de [math] c [/ math] para el cual existe exactamente una solución.
Pero, ¿cómo determinar cuál es el caso y probarlo?
Cambiemos todo al RHS y dejemos [math] f (x) = 4 \ times2 ^ x – 4 – x [/ math]. Resolver [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] es equivalente a resolver el problema original.
Veamos [math] f ^ \ prime (x) = 4 \ ln (2) \ times2 ^ x-1 [/ math]. Observamos que esto tiene exactamente una solución [matemática] f ^ \ prime (x) = 0 [/ matemática] cuando [matemática] x = x ^ * = – \ ln (4 \ ln (2)) <0 [/ matemática ], y [matemáticas] f ^ \ prime (x) <0 [/ matemáticas] para [matemáticas] x 0 [/ matemáticas] para [matemática] x> x ^ * [/ matemática], debido a las propiedades de la función exponencial [matemática] 2 ^ x [/ matemática]. Esto significa que [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] se satisface con cero, uno o como máximo dos valores de [matemática] x [/ matemática]. El caso depende completamente del término constante en [math] f (x) [/ math].
Ahora, sabemos que [matemática] x = 0 [/ matemática] es de hecho una solución, entonces si [matemática] f (x)> 0 [/ matemática] para [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] f (x) <0 [/ matemática] para [matemática] x <0 [/ matemática], o si [matemática] f (x) 0 [/ matemática] y [ matemática] f (x)> 0 [/ matemática] para [matemática] x <0 [/ matemática], luego la línea recta corta el exponencial (o, de manera equivalente, [matemática] f (x) [/ matemática] corta) el eje [math] x [/ math]) en [math] x = 0 [/ math], y hay otra solución. Si [math] f (x) [/ math] tiene el mismo signo a ambos lados de [math] x = 0 [/ math], entonces sabemos que [math] x = 0 [/ math] es la única solución.
Entonces, consideremos [matemáticas] f (-1) = 4 \ times2 ^ {- 1} -4 – (- 1) = 4 \ times \ frac {1} {2} – 4 + 1 = 2-4 + 1 = -1 0 [/ math], entonces sabemos que hay dos soluciones.
La otra solución debe estar en algún lugar con [math] x <x ^ * [/ math]. Tenga en cuenta que [math] – \ ln (4 \ ln (2)) \ approx-1.02 [/ math], por lo que podemos probar [math] f (-2) [/ math], [math] f (-3) [/ math], y así sucesivamente para buscar un cambio de signo para al menos unir la segunda solución [math] \ tilde {x} [/ math].
Si no tienes suerte, el problema no tendrá una solución “fácil”. En ese caso, una función no elemental puede representar la solución, o los métodos numéricos podrían aproximarse a esa solución, y el método de Newton probablemente funcionaría muy bien en este caso, si no selecciona [matemáticas] x_0 \ ll \ tilde {x } [/ math] para comenzar su iteración (en cuyo caso podría intentar converger a [math] 0 [/ math]).
Encontrará que la solución [matemáticas] \ tilde {x} [/ matemáticas] se encuentra entre [matemáticas] -4 [/ matemáticas] y [matemáticas] -3 [/ matemáticas], pero no es ningún número “bueno” , como creo que otras respuestas te dirán.
