El resultado obtenido al aplicar el procedimiento para expresar [matemáticas] I_n [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] I_ {n-2} [/ matemáticas] se denomina FORMULA DE REDUCCIÓN. Aviso,
[matemáticas] I_n = \ int {sin ^ nx} dx [/ matemáticas]
[matemáticas] I_n = \ int {sin ^ {n-1} xsinx} dx [/ matemáticas]
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Tomando [math] sin ^ {n-1} x [/ math] y [math] sinx [/ math] como primera y segunda función respectivamente,
Integrando por partes,
[matemáticas] I_n = sin ^ {n-1} x \ int {sinx} dx – (n-1) \ int {(sin ^ {n-2} xcosx \ int {sinx} dx)} dx [/ matemáticas]
[matemáticas] I_n = -sin ^ {n-1} xcosx + (n-1) \ int {sin ^ {n-2} xcos ^ 2x} dx [/ matemáticas]
Aplicación de la identidad [matemáticas] cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x, [/ matemáticas]
[matemáticas] I_n = -sin ^ {n-1} xcosx + (n-1) \ int {(sin ^ {n-2} -sin ^ nx)} dx [/ math]
[matemáticas] I_n = -sin ^ {n-1} xcosx – (n-1) I_n + (n-1) \ int {sin ^ {n-2} x} dx [/ math]
[matemáticas] nI_n = -cosxsin ^ {n-1} x + (n-1) I_ {n-2} [/ matemáticas]
Dividiendo por [math] n [/ math] ambos lados obtenemos el resultado para [math] n \ geq2, [/ math]
[matemáticas] I_n = -cosxsin ^ {n-1} x / n + (n-1) / nI_ {n-2} [/ matemáticas]
NOTA:
Las siguientes integrales bajo los límites [matemática] (0, \ pi / 2) [/ matemática] en reducción adicional se reducen a una fórmula simple para [matemática] n \ geq2, [/ matemática] las fórmulas senoidales para [matemática] n [/ matemáticas] pares e impares respectivamente,
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} {sin ^ nx} dx [/ matemáticas] [matemáticas] = (\ pi / 2) 1.3.5… (n-1) /2.4.6…n [/matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} {sin ^ nx} dx = 2.4.6… (n-1) /1.3.5…n [/ matemáticas]
De manera similar, las fórmulas de Cosine Wallis para [matemáticas] n [/ matemáticas] pares e impares respectivamente,
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} {cos ^ nx} dx = (\ pi / 2) 1.3.5… (n-1) /2.4.6…n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} {cos ^ nx} dx = 2.4.6… (n-1) /1.3.5…n [/ matemáticas]
