Tal vez sea útil alguna intuición sobre la inducción de los números naturales.
Nuestro objetivo es mostrar que alguna regla o propiedad es válida para todos los números naturales. Nuestro argumento tiene dos componentes principales:
- El caso base : mostramos que las reglas son válidas para n = 1
- El paso inductivo : suponiendo que las reglas se cumplan para un número natural arbitrario n – 1 , demuestre que la regla se cumple para el número natural subsiguiente n
Si podemos mostrar estas dos cosas, ¡entonces hemos terminado! Para un retador que exige: “Bueno, muéstrame que la regla es válida para 1432145”, respondemos que la regla es válida para 1, es válida para 2, es válida para 3 , …, es válida para 1432144, es válida para 1432145 . Este argumento de inducción finita funciona para cualquier número natural que elija nuestro retador.
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En la práctica, la decisión de utilizar un argumento por inducción se basa en su capacidad de notar alguna relación entre la regla en n y la regla en n-1, lo que le permite reducir la regla en n a la regla en n-1 más algunas cosas adicionales para cuidar de. En la prueba que publicó, la línea después de “Asumir verdadero para n-1 ” está haciendo exactamente esto: está reduciendo la regla en n a la regla en n-1 , más algunas cosas adicionales (“blahblah” de Samar, o esas cosas más allá de los paréntesis). Luego usamos nuestra suposición inductiva que la regla se mantiene en n-1 , junto con algunas ideas inteligentes sobre las cosas adicionales, para mostrar que la regla se cumple para n.
Nota: en nuestro caso, la regla sobre n es [matemáticas] \ sum_ {i = 2} ^ {2 ^ n} \ frac {1} {i} \ geq \ frac {n} {2} [/ matemáticas]
¡Esperemos que esto aclare cómo funciona la prueba!
En cuanto a los detalles de la prueba, recomendaría pensar en cómo podría intentar mostrar la regla directamente para algunos casos concretos, por ejemplo, n = 3:
[matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {7} + \ frac {1} {8} \; \ stackrel {?} {\ geq} \; 1.5 [/ matemáticas]
(Spoiler : ¿hay alguna forma de agrupar términos para que pueda vincular fácilmente cada grupo desde abajo en 1/2? )
(Spoiler súper especial : ¿cuántos grupos quieres? )
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