Cómo demostrar que [matemáticas] 2 ^ {2016}> 10 ^ {604} [/ matemáticas]

Darse cuenta de:

[matemáticas] 2 ^ {10} \ aprox 10 ^ {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1024 \ aprox 1000 [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] 2 ^ {2016} = (2 ^ {10}) ^ {201.6} = (10 ^ {3}) ^ {201.6} = 10 ^ {3 \ cdot 201.6} = 10 ^ {604.8} [/ matemáticas ]

[matemáticas] 604.8> 604 [/ matemáticas], lo que demuestra que la afirmación es verdadera.

Aunque nuestra aproximación solo tiene éxito por un margen estrecho, todavía sabemos que es correcta porque [matemática] 2 ^ {10}> 10 ^ {3} [/ matemática], no al revés.

EDITAR:

Me acabo de dar cuenta de otro método más rápido, esta vez usando una calculadora.

[matemática] \ log_ {10} (2) [/ matemática] [matemática] \ cdot 2016 = 606.876 [/ matemática], que es mayor que [matemática] 604 [/ matemática].

Similar:

[math] \ log_ {2} (10) \ cdot 604 = 2006.445 [/ math], que es menor que [math] 2016 [/ math].

Ambos muestran que [matemáticas] 2 ^ {2016}> 10 ^ {604} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {10} = 1024> 1000 = 10 ^ 3 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] 2 ^ {2010} = 2 ^ {10 · 201}> 10 ^ {3 · 201} = 10 ^ {603 }[/matemáticas].

Por otro lado, [matemáticas] 2 ^ 6 = 64> 10 = 10 ^ 1 [/ matemáticas].

Multiplicando ambas desigualdades (misma dirección, todos los positivos) obtienes tu desigualdad original.

Algunos enfoques utilizan el conocimiento de los logaritmos decimales. El siguiente enfoque utiliza solo datos básicos de multiplicación.

Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ {10}> 10 ^ {3} [/ matemáticas]

porque 1024> 1000.

Eleve ambos lados a la potencia 201:

[matemáticas] (2 ^ {10}) ^ {201}> (10 ^ {3}) ^ {201} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {2010}> 10 ^ {603} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ {6} [/ matemáticas] = 64 [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas]> 10 ^ {1} [/ matemáticas] = 10.

Por lo tanto, multiplicamos el lado izquierdo por una cantidad mayor [matemática] 2 ^ {6} [/ matemática] y el lado derecho por una cantidad menor [matemática] 10 ^ {1} [/ matemática] para obtener

[matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ {2010}) (2 ^ {6})> (10 ^ {603}) (10 ^ {1}) [/ matemáticas]

El resultado es

[matemáticas] 2 ^ {2016}> 10 ^ {604}. [/ matemáticas]

Para hacer una comparación rápida, puede convertir 10 como una potencia de 2. Sabemos [matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ 4 = 16 [/ matemáticas], entonces 10 está cerca de [matemáticas ] 2 ^ 3 [/ math] (en realidad es [math] 2 ^ {3.32192809489} [/ math]). Con este conocimiento, vemos [matemáticas] 10 ^ {604} = 2 ^ {3.3 * 604} = 2 ^ {1993.2} [/ matemáticas], que es menor que [matemáticas] 2 ^ {2016} [/ matemáticas]

EDITAR: Hay una mejor respuesta de Saverio Trioni, que no requiere ningún conocimiento de [math] log_2 {10} [/ math]

Sería útil saber que [math] \ log_ {10} 2> 0.3 [/ math]. (De hecho, [matemáticas] \ log 2 \ aprox. 0.30103 [/ matemáticas]).

Entonces tendrías que [matemáticas] \ log 2 ^ {2016}> 0.3 \ veces 2016> 604 [/ matemáticas], completando la prueba.

Deje que [matemáticas] 2 ^ {2016} \; \ square \; 10 ^ {604} [/ math], donde [math] \ square [/ math] representa el signo de desigualdad correspondiente (que aún no hemos descubierto).

Dividamos ambos lados entre [matemáticas] 2 ^ {604} [/ matemáticas] (Tenga en cuenta que esto es válido independientemente del signo de desigualdad, ya que el número por el que estamos dividiendo es positivo).

Obtenemos [math] 2 ^ {1412} \; \ square \; 5 ^ {604} [/ math]. Ahora, si logramos probar esta declaración, habremos probado el reclamo.

Ahora, tenga en cuenta que [matemáticas] 2 ^ 7> 5 ^ 3 [/ matemáticas]

Al elevar ambos lados de la desigualdad antes mencionada a la potencia número 200, obtenemos:

[matemáticas] 2 ^ {1400}> 5 ^ {600} [/ matemáticas].

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] 5 ^ 4 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] 2 ^ {1400} \ veces 5 ^ {4}> 5 ^ {604} [/ matemáticas]

Entonces, todo lo que queda por probar es [matemáticas] 2 ^ {1412}> 2 ^ {1400} \ veces 5 ^ 4 \ implica 2 ^ {12}> 5 ^ 4 [/ matemáticas], que puede verificar fácilmente, es cierto.

Por lo tanto, demostró que [matemáticas] 2 ^ {2016}> 10 ^ {604} [/ matemáticas]

Puede tomar el logaritmo en ambos lados y comparar directamente. Si usa la base 10 y mueve todo al lado izquierdo, obtendrá

[matemáticas] \ frac {2016} {604} \ log_ {10} (2)> 1 [/ matemáticas].

El lado izquierdo es aproximadamente 1.005, por lo que la desigualdad es verdadera.

Deje que [math] \ log [/ math] sea el logaritmo común (base de logaritmo [math] 10 [/ math]): \ begin {align}
\ log2 & \ simeq0.3010 \\
2016 \ log2 y \ simeq605.3 \\
2016 \ log2 y> 604 \\
2016 \ log2 &> 604 \ log10 \\
\ log2 ^ {2016} &> \ log10 ^ {604} \\
2 ^ {2016} y> 10 ^ {604}
\ end {alinear}

Hola,

tomar registro en ambos lados. Como ambos números son mayores que 1, la desigualdad no cambiará.

entonces 2016 * log [2] = 2016 * 0.3 = 604.8

y 604 * log [10] = 604 * 1 = 604

604.8> 604

Por lo tanto, se demuestra lo anterior.

espero que esto ayude.

El registro de la figura de 2 veces 2016 y el registro de 10 veces 604, la respuesta más grande es la misma para la pregunta original.