Darse cuenta de:
[matemáticas] 2 ^ {10} \ aprox 10 ^ {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] 1024 \ aprox 1000 [/ matemáticas]
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Entonces:
[matemáticas] 2 ^ {2016} = (2 ^ {10}) ^ {201.6} = (10 ^ {3}) ^ {201.6} = 10 ^ {3 \ cdot 201.6} = 10 ^ {604.8} [/ matemáticas ]
[matemáticas] 604.8> 604 [/ matemáticas], lo que demuestra que la afirmación es verdadera.
Aunque nuestra aproximación solo tiene éxito por un margen estrecho, todavía sabemos que es correcta porque [matemática] 2 ^ {10}> 10 ^ {3} [/ matemática], no al revés.
EDITAR:
Me acabo de dar cuenta de otro método más rápido, esta vez usando una calculadora.
[matemática] \ log_ {10} (2) [/ matemática] [matemática] \ cdot 2016 = 606.876 [/ matemática], que es mayor que [matemática] 604 [/ matemática].
Similar:
[math] \ log_ {2} (10) \ cdot 604 = 2006.445 [/ math], que es menor que [math] 2016 [/ math].
Ambos muestran que [matemáticas] 2 ^ {2016}> 10 ^ {604} [/ matemáticas]