Deje que cada una de las ruedas tenga [matemática] p [/ matemática] posiciones posibles con exactamente una posición “correcta”. Suponga que cualquiera de las opciones [math] ^ nC_m \ equiv \ binom {n} {m} [/ math] de combinación de ruedas [math] nm [/ math] abrirá la cerradura.
Intentar claramente [math] (nm) ^ p [/ math] combinaciones de cualquier rueda [math] nm [/ math] abrirá la cerradura. Suponiendo que todas las otras ruedas [math] m [/ math] están en las posiciones incorrectas, el número medio de intentos de abrir la cerradura con este método es [math] \ frac {(nm) ^ p + 1} {2} [ /matemáticas]. Si bien no podemos mejorar en el peor de los casos, el número medio de intentos para abrir la cerradura se puede reducir eligiendo las otras ruedas [math] m [/ math] para maximizar las combinaciones potenciales que se están probando.
En el problema de ejemplo de MSRI, [matemática] n = 3, m = 1, p = 4 [/ matemática], elegiríamos la tercera rueda para asegurar que las 16 combinaciones de las tres ruedas en pares (1ra y 2da, 1ra y 3ra y 2 y 3) ocurren. Con este enfoque, estamos probando efectivamente tres combinaciones en cada intento, por lo que el número medio esperado de intentos se reduce a [matemáticas] \ frac {2 ^ 4 + 1} {2 \ veces3} [/ matemáticas] que es menor que [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. Una posible secuencia requerida es
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[matemáticas] (1,1,1) (1,2,2) (1,3,3) (1,4,4) [/ matemáticas]
[matemáticas] (2,1,2) (2,2,3) (2,3,4) (2,4,1) [/ matemáticas]
[matemáticas] (3,1,3) (3,2,4) (3,3,1) (3,4,2) [/ matemáticas]
[matemáticas] (4,1,4) (4,2,1) (4,3,2) (4,4,3) [/ matemáticas]
Creo que este método podría extenderse a general [matemática] n, m, p [/ matemática] para producir un número medio de intentos de
[matemáticas] \ frac {(nm) ^ p + 1} {2 \ veces \ binom {n} {m}} [/ matemáticas]
pero no veo de inmediato cómo demostrarlo.
