Cómo simplificar [matemáticas] \ log_ {b} 4 + 3 [\ log_ {b} (1 + x) – \ frac {1} {2} \ log_ {b} (1-x)] [/ matemáticas] así que está escrito como un solo logaritmo con un coeficiente de 1

No quiero hacer tu tarea por ti (cobro dinero por eso) pero aquí hay algunos consejos:

  1. Distribuya el 3 a través de la diferencia de registros, y luego use la regla [math] a \ log {x} = \ log {x ^ a} [/ math], en ese orden, dos veces;
  2. luego use la regla [math] \ log {a} – \ log {b} = \ log {\ frac {a} {b}} [/ math] en la diferencia restante de registros;
  3. luego use la regla [math] \ log {a} + \ log {b} = \ log {ab} [/ math] en la suma restante de registros.
  4. el hecho de que sea [math] \ log_b [/ math] es irrelevante porque todos los registros involucrados tienen la misma base [math] b [/ math] (solo significa que su respuesta final también será [math] \ log_b [ /matemáticas]).

HTH

Por cierto, aquí está el gráfico de esta función, para [math] b = [/ math] e, la base del registro natural (el azul es la función dada, el verde agrega lo que sucede si ampliamos el dominio tomando primero el valor absoluto de el argumento de [math] \ log [/ math]):

Las propiedades importantes del logaritmo que se deben conocer para simplificar esta expresión son las siguientes:

[matemáticas] \ log_n (x) + \ log_n (y) = \ log_n (xy) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log_n (x) – \ log_n (y) = \ log_n (\ frac {x} {y}) [/ math]

[matemáticas] y \ log_n (x) = \ log_n (x ^ y) [/ matemáticas]


Para comenzar a simplificar, debemos distribuir entre paréntesis:

[matemáticas] \ log_b4 + 3 \ log_b (1 + x) – \ frac {3} {2} \ log_b (1-x) [/ math]

[math] = \ log_b4 + \ log_b (1 + x) ^ 3- \ log_b (1-x) ^ {\ frac {3} {2}} [/ math]

[matemáticas] = \ log_b (4 (1 + x) ^ 3) – \ log_b (1-x) ^ {\ frac {3} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ log_b \ left (\ dfrac {4 (1 + x) ^ 3} {(1-x) ^ {\ frac {3} {2}}} \ right) [/ math]

[math] = \ log_b \ left (4 \ left (\ dfrac {1 + x} {\ sqrt {1-x}} \ right) ^ 3 \ right) [/ math]

[matemáticas] {\ log _b} 4 + 3 \ left [{{{\ log} _b} \ left ({1 + x} \ right) – \ frac {1} {2} {{\ log} _b} \ izquierda ({1 – x} \ derecha)} \ derecha] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ log _b} 4 + {\ log _b} {\ left ({1 + x} \ right) ^ 3} – {\ log _b} {\ left ({1 – x} \ right) ^ {\ frac {{- 3}} {2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ log _b} \ left [{\ frac {{4 \ times {{\ left ({1 + x} \ right)} ^ 3}}} {{{{\ left ({1 – x} \ right)} ^ {\ frac {{- 3}} {2}}}}}} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ log _b} \ left [{\ frac {{4 {{\ left ({1 + x} \ right)} ^ 3}. {{\ left ({1 – x} \ right) } ^ {\ frac {3} {2}}}}} {1}} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ log _b} \ left [{4 {{\ left ({\ left ({1 + x} \ right) \ left ({1 – x} \ right)} \ right)} ^ 3 }. {{\ left ({1 – x} \ right)} ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ log _b} \ left [{4. {{\ left ({1 – {x ^ 2}} \ right)} ^ 3}. {{\ left ({1 – x} \ right )} ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right] [/ math]

Espero que puedas continuar más.

[matemáticas] = \ log _ {b} {\ left \ {4 {\ left (\ dfrac {1 + x} {\ sqrt {1-x}} \ right)} ^ {3} \ right \}} [ /matemáticas]

base b no mostrada:

㏒4 (1 + x) ³ / √ (1-x)

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