Bueno, como siempre, eso depende de lo que quieras decir con “fórmula”. Si [math] r (n) [/ math] es el número de particiones primarias de [math] n [/ math], entonces la función generadora de [math] r (n) [/ math] puede escribirse como
[math] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty r (n) x ^ n = \ prod _ {\ mbox {prime} p} \ frac {1} {1-x ^ p} [/ math].
Esto sigue inmediatamente reemplazando las proporciones de la derecha con series geométricas y recolectando términos. Por ejemplo, para el primo [matemáticas] p = 5 [/ matemáticas], tiene el término
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[matemáticas] \ frac {1} {1-x ^ 5} = 1 + x ^ 5 + x ^ {10} + x ^ {15} + \ ldots [/ matemáticas]
y si elige, digamos, la 15ª potencia, simplemente está usando tres 5 en su partición.
Esta fórmula le permite calcular [matemáticas] r (n) [/ matemáticas] más eficientemente que la fuerza bruta completa, pero no es una “fórmula de forma cerrada” del tipo que podría esperar.
Tenemos una comprensión bastante detallada del comportamiento de [math] r (n) [/ math] para valores grandes de [math] n [/ math]. Esas fórmulas usan constantes y operaciones muy familiares, pero por supuesto son solo aproximadas:
[matemáticas] r (n) \ aprox e ^ {2 \ pi \ sqrt {n / 3 \ log n}} [/ matemáticas]
Esas fórmulas son considerablemente más difíciles de obtener que la función de generación exacta que vimos anteriormente.
Se sabe mucho más sobre esta secuencia. Un gran punto de partida para futuras investigaciones podría ser la entrada correspondiente de OEIS.
