Es bien sabido que el conjunto de potencias, P, de [math] \ mathbb {N} [/ math] es incontable.
Deje [math] s \ en P [/ math], entonces podemos definir [math] x [/ math] [math] \ in l ^ {\ infty} [/ math] por [math] x_ {k} = 1 [ / math] if [math] k \ in S [/ math] else [math] x_ {k} = 1 [/ math]. Sea [math] f: P \ to l ^ {\ infty} [/ math] tal que f (s) = x como se definió anteriormente.
Entonces, para [math] s \ neq t \ en P [/ math] induciendo [math] f (s), f (t) [/ math] [math] \ en S [/ math] respectivamente debe haber alguna [math ] k [/ math] tal que [math] f (s) [/ math] [math] _ {k} \ neq f (t) _ {k} [/ math].
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Por lo tanto, como estamos usando la norma sup tenemos [math] || f (t) -f (s) || = 1 [/ math].
Entonces, [matemática] f (P) [/ matemática] es una inyección en [matemática] l ^ {\ infty} [/ matemática] donde cada elemento puede separarse por un conjunto abierto, por lo tanto, como P es incontable [matemática] l ^ {\ infty} [/ math] no es separable.
