Este polinomio de [matemáticas] 2017 [/ matemáticas] claramente (*) tiene todas sus raíces repetidas en [matemáticas] \ frac32 [/ matemáticas] y debe haber [matemáticas] 2017 [/ matemáticas] de ellas. Entonces, la suma es [matemáticas] 2017 \ times \ frac32 [/ matemáticas].
[EDITAR – para abordar la corrección de Bernard Blander]
(*) Bueno, admito que esto no es 100% obvio. Deje [math] f_n (x) = (x-1) ^ n + (x-2) ^ n [/ math]
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Teorema: para [matemática] n [/ matemática] impar y [matemática] n> 0 [/ matemática], [matemática] f_ {n} (x) [/ matemática] tiene [matemática] n [/ matemática] raíces repetidas en [matemáticas] x = \ frac32 [/ matemáticas].
Prueba: Tenga en cuenta que [math] x = \ frac32 [/ math] es una raíz de [math] f_n (x) [/ math] por sustitución directa en la definición de [math] f_ {n} (x) [/ math ] Tenga en cuenta también que [math] f_n ‘(x) = n (x-1) ^ {n-1} + n (x-2) ^ {n-1} [/ math]. [matemática] n-1 [/ matemática] es par así que los términos en [matemática] x [/ matemática] son cada uno al cuadrado de un número real y son diferentes, por lo que la suma debe ser mayor que cero. Una función con una derivada siempre positiva puede tener como máximo una raíz real distinta y ya hemos terminado.
