Si [math] x [/ math] es un número real, ¿es [math] x ^ x [/ math] igual a [math] x \ cdot x ^ {x-1} [/ math]?

La respuesta es sí, excepto x = 0. Y aquí está la prueba:

Si A = B,

entonces podemos obtener:

si x es un número real, mientras que x> 0,

mientras x <0,

mientras x = 0,

a ^ b es un número real si y solo si:

1. a> 0 O
2. a = 0 yb> 0 OR
3. a <0 yb se puede expresar como un número racional con un denominador impar (por ejemplo: 0/1; 7/1; –3/5 son válidos; 4/6 también es válido porque es igual a 2/3) .

Cuidado con el número 2: algunas personas consideran 0 ^ 0 = 1, mientras que otras consideran 0 ^ 0 como indeterminado. En esta respuesta lo estoy considerando indeterminado. Si desea considerar que es igual a 1, el punto 2 cambia de la siguiente manera: “a = 0 yb> = 0”.

Con respecto al punto 3, por simplicidad, nombremos el conjunto de números racionales que se pueden expresar con un denominador impar. Que ese conjunto se llame A.

En esta respuesta no estoy considerando la posibilidad de números complejos. Estoy considerando que a ^ b tiene sentido si y solo si es un número real. También estoy considerando ∗ como significado de multiplicación.

Ahora consideremos x ^ x y apliquemos las condiciones que numeré antes. En este caso, a = x y b = x. Entonces es un número real si y solo si:

1. x> 0 OR
2. x = 0 yx> 0 OR
3. x <0 yx pertenece a A

Manipulemos las expresiones. El segundo punto es imposible porque x no puede ser ambos = 0 y> 0. Así que eso es:

1. x> 0 OR
2. falso, O
3. x <0 y pertenece a A

Es decir:

1. x> o OR
2. x <0 y pertenece a A

Ahora consideremos x * x ^ (x – 1). En este caso estamos considerando x ^ (x – 1). Usando las proposiciones enumeradas anteriormente, con a = x y b = x – 1, es un número real si y solo si:

1. x> 0 OR
2. x = 0 y x – 1> 0 OR
3. x <0 y x – 1 pertenece a A

Manipulemos las tres proposiciones. El segundo punto es imposible porque no puede ser tanto x = 0 como x – 1> 0: puedes entenderlo porque si sustituyes 0 a x en x – 1> 0, obtienes –1> 0 que es falso . Con respecto al tercer punto, supongo que x – 1 pertenece a A si y solo si x pertenece a A.

Entonces x * x ^ (x – 1) es un número real si y solo si:

1. x> 0 OR
2. falso O
3. x <0 y pertenece a A.

Es decir:

1. x> 0 OR
2. x <0 y pertenece a A

La primera serie de proposiciones de boldes es la condición de existencia del primer elemento de la expresión. El segundo es la condición de existencia del segundo elemento de la expresión. Necesitamos explicitar cuando ambas son ciertas. Es realmente simple porque son iguales.

Conclusión 1

Considerar ambas condiciones en negrita nos da las condiciones para las cuales la expresión completa es un número real. Es decir:

1. x> 0 OR
2. x <0 y pertenece a A

Conclusión 2

Considerando el hecho de que las dos condiciones son iguales, da el hecho de que cuando el primero es un número real, el segundo también lo es, y viceversa.

• x ^ x es un número real si y solo si x * x ^ (x – 1) es un número real

La respuesta real:

x ^ x y x * x ^ (x – 1) son iguales (y son números reales) no para cada número real, sino solo para aquellos para los cuales ambos son números reales (ver Conclusión 1).

De todos modos, dado que ambos son reales o ambos no lo son (Conclusión 2), si alguno de ellos ya se da como un número real y tiene sentido, entonces se le permite decir que es igual al otro.

Considerar si las conclusiones y la respuesta son las mismas si consideras que 0 ^ 0 es igual a 1 se deja como ejercicio para el lector (¡Sí! Siempre quise decir eso).

Sí, definitivamente es verdad

Porque cuando se multiplican dos números, variables, etc. del mismo tipo (como (x y x) (2 y 2)), la base permanece igual mientras sus poderes se suman

Entonces [X * X ^ (x-1)] se convierte en X ^ (x-1 + 1) [la potencia de X es 1] para que finalmente obtenga X ^ x y viceversa, lo cual es cierto

Es bastante obvio que para x = 0 tenemos problemas.

Hay muchos otros, como x = -1 / 2, pero no hay que preocuparse por ellos en esta etapa.

¿Por qué tenemos un problema en x = 0? Depende de cómo estamos definiendo x ^ x. Y eso depende del contexto en el que esté trabajando.

Lo que está en cuestión es el valor de 0 ^ 0. ¿Es 0 o 1? ¿Está definido en absoluto?

Hay buenos argumentos para los tres. Y muchos otros.

Sería fácil discutir los problemas de Ln 0, pero estas son distracciones para el problema real:

¿Cuál es el dominio y el rango de su función (exponenciación)? Supongo que te refieres a exponenciación, pero el ‘*’ tiene otros usos, como la convolución.

¿Su dominio incluye cero? Si es así, ¿cómo has definido f (0)?

Por supuesto, una vez que hayas hecho esto, tu pregunta ya no será tan interesante.

Si no le importa el rango y el dominio, entonces se me permite hacer “lo que quiera”, y podría decir x ^ x = 0 para todas las x.

Una vez que haya fijado el rango y el dominio, podemos continuar un poco más.

Otras funciones como factorial (definida para números naturales) pueden “extenderse” a dominios mucho más amplios, y la “mejor” tradicionalmente aceptada es la función Gamma. Pero hay otros. Y sin más información, tales extensiones rara vez son únicas.

Pero esto es matemática. Si quería una respuesta directa, debería haberle preguntado a un ingeniero.

Él es el tipo que realmente construye el puente. Y si (¿cuándo?) Se cae, ya no será su problema tampoco. Deja eso a los abogados.

¿Por qué haría que un problema fuera más difícil de responder? Siempre hay preguntas más difíciles, pero a propósito desilusionar un problema es una locura. Supongo que lógicamente, estás usando tu imaginación de alguna manera aunque … Porque agrandar un problema requiere inventar cosas

La respuesta corta es sí, pero veamos qué está pasando aquí.

En la primera ecuación tienes x veces x, x veces

En la segunda ecuación, está bajando una de las x veces, y luego usando el -1 en el exponente para equilibrarlo

Eso probablemente no tenía sentido, oh bueno.

Sí, excepto cuando x = 0, donde estas expresiones son indeterminadas.