¿Se puede reducir cualquier sistema n-dimensional a una dimensión con una curva de relleno de espacio?

Sí, pero esta “reducción” puede o no ser útil, dependiendo de la situación. De hecho, si todo lo que quiere es representar un punto en el espacio n dimensional por un solo escalar, realmente no necesita una curva que llene el espacio (la cardinalidad del espacio n dimensional es la misma que la de los números reales, y allí Hay varias formas de mapear el espacio en un intervalo). Sin embargo, estas representaciones rompen la localidad (dos puntos que están cerca uno del otro en el espacio n dimensional podrían no estar cerca en la representación unidimensional). Si está utilizando esta representación para analizar algo que implica continuidad, lo más probable es que no ayude mucho.

Aunque el uso de una curva de relleno de espacio no preserva la localidad, lo “inverso” es cierto en el sentido de que dos puntos con representaciones de 1 dimensión cerca uno del otro también estarán cerca uno del otro en el espacio n dimensional. Una aplicación de esta propiedad es la computación paralela, cuando desea dividir el espacio en regiones conectadas de manera secuencial y distribuir cada región a un núcleo diferente. Supongamos que desea dividir ciertos cálculos en una malla de 100 x 100 en 10 núcleos, donde el tiempo requerido para calcular cada punto de la malla es diferente. Usando una curva de relleno de espacio, podemos representar la malla por una secuencia de longitud 10000, y dividir esta secuencia en 10 segmentos con un tiempo de cálculo total similar se puede hacer fácilmente. El uso de una curva de relleno de espacio puede brindarle una buena partición en el sentido de que el perímetro de las regiones es pequeño (como un cuadrado en lugar de un rectángulo largo), lo que reduce la cantidad de comunicación entre núcleos.

¿Se puede reducir cualquier programa de C para usar solo una matriz de int? Sí, pero lo más probable es que esta reducción no sea útil.

Específicamente, la mayoría de los problemas naturales estudiados en el cálculo tienen una cierta estructura que se destruiría con alguna reducción. Por ejemplo, si estudiaste Cálculo 1, sabes cómo encontrar máximos locales de funciones de una sola variable. Por lo tanto, parece que también podría usar este conocimiento para encontrar máximos locales de funciones multivariables. Por desgracia, la función de variable única que obtendría en este caso no será diferenciable.

Supongamos que tiene un mapa continuo (x, y) -> r
Luego mapa (x, y, z) -> (r, z) y mapa (r, z) -> r ^ 2 para obtener mapas continuos para 3D. Inducción etc.