¿Cuáles son las características matemáticas compartidas por todos los ‘espacios’?

Se podría decir que un espacio es un grupo ∞-grupo equipado con algún tipo de cohesión. Intuitivamente, los puntos, las rutas y las celdas superiores tienen una estructura adicional, y esto es compatible con espacios de agrupamiento, toma de productos y otras operaciones que esperaría que respetaran la estructura. No estoy seguro de si esta es una buena definición de un espacio, pero es útil e interesante. Otra definición de un espacio es como un objeto en una categoría opuesta de alguna categoría de álgebras. Para espacios topológicos, es algo así como la categoría de álgebras C *. Para espacios de medida, es algo así como la categoría de álgebras de von Neumann. Para espacios de piedra, algo así como álgebras booleanas. Los espacios vectoriales son interesantes porque son, en cierto sentido, auto-duales, como una categoría. Por lo tanto, logran un equilibrio perfecto de estructura espacial y algebraica.

Generalmente un espacio es un conjunto equipado con algún tipo de estructura. Un espacio topológico tiene una topología, un espacio de medida tiene un [math] \ sigma [/ math] -algebra, un espacio de probabilidad es un tipo de espacio de medida. Los espacios métricos tienen una noción de distancia, los espacios normados tienen la noción de una norma, los espacios internos del producto tienen un producto interno.

Del mismo modo, un morfismo es el término para un mapeo que conserva algún tipo de estructura. Los homomorfismos / isomorfismos preservan una operación, los homeomorfismos preservan las relaciones topológicas, etc.

En la teoría de categorías puedes trabajar con espacios y morfismos en el caso abstracto.

Realmente no creo que haya ninguna característica matemática compartida por todos los espacios. Existe una idea intuitiva de que un espacio es un escenario en el que sucede algo, pero eso no dice mucho más que que el objeto subyacente es un conjunto.

“Espacio” no es una palabra con una definición matemática precisa.

No hay una definición clara de a qué se refiere un espacio en matemáticas. Pero todos los que tenemos están formalmente definidos.

Algo que se denomina espacio tiene como objeto subyacente un conjunto junto con algún tipo de otra estructura definida en él. Deja que sea una función o algún otro conjunto.

Un buen indicador es que la estructura que estás viendo pertenece a una categoría.