Esto se hizo largo :). Resumen: en dos dimensiones, los espacios de Banach se parametrizan mediante conjuntos convexos simétricos centrados. Los espacios de Hilbert son parametrizados por aquellos conjuntos convexos que son elipses.
Los espacios de Banach, y su caso especial, los espacios de Hilbert, generalmente se estudian en el contexto de espacios vectoriales de dimensiones infinitas, ya que están hechos a medida para estudiar espacios de funciones y secuencias.
Sin embargo, también es posible estudiar estos objetos en dimensiones finitas, y de esta manera se puede usar la geometría para comprender la diferencia entre los espacios de Hilbert y los espacios de Banach (no Hilbert). Yo diría que la diferencia entre los espacios de Hilbert y los espacios de Banach (no Hilbert) es fundamentalmente geométrica. Los matemáticos han abstraído esta geometría en un grado considerable, pero la intuición básica se puede reducir a imágenes.
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Bien, entonces mi enfoque para esta pregunta será considerar [matemáticas] X: = \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora, lo que pasa con los espacios de Banach es que tienen tres propiedades principales, dos de las cuales son esenciales y una técnica. La primera propiedad esencial de un espacio de Banach es que sea un espacio vectorial. Esto significa que puede sumar y restar elementos juntos, y multiplicarlos por números reales. Para nosotros, los elementos de X se verán como vectores [math] a = (a_1, a_2) \ in \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], por lo que la suma, la resta y la multiplicación escalar se definen como es de esperar. La segunda propiedad esencial de un espacio de Banach es su norma, que es una forma de describir cuán grande es algo. La norma por excelencia es nuestro viejo amigo, la norma euclidiana, [matemáticas] || a || _2: = (a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2) ^ \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Observe cómo la norma euclidiana, como bonificación, define una métrica, o noción de distancia, en X. La distancia entre dos vectores se define como la norma de su diferencia. Como matemático aparte, esto hace que los espacios métricos sean un objeto más general que los espacios de Banach. Ah, sí, la última propiedad técnica de los espacios de Banach es que están “completos”, lo que en un sentido amplio, significa que el espacio no tiene pequeños agujeros. Honestamente, esto no es tan importante, porque hay una construcción matemática llamada terminación que, sinceramente, solo repara los agujeros. Estoy divagando.
Resulta que hay muchas normas posibles sobre X, y no solo la euclidiana. De hecho, podemos definir una familia completa de ellos, indexados por [math] p \ geq 1 [/ math]. Considere [math] || a || _p: = (a_1 ^ p + a_2 ^ p) ^ \ frac {1} {p} [/ math]. Observe cómo esto generaliza la distancia euclidiana (p = 2), y también tenga en cuenta que tomamos el exponente [math] \ frac {1} {p} [/ math] en gran parte para fines de contabilidad, porque hace que la multiplicación escalar sea homogénea (multiplique algo en 2, aumenta su norma en 2).
Ahora, para comprender los espacios de Banach, vamos a pasar de las normas a un objeto geométrico más amigable, a saber, la unidad de bola en cada norma. Este es un patrón muy común cuando se estudian estos objetos. La bola unidad se define como [matemáticas] B ^ p: = \ {a \ in \ mathbb {R} ^ 2: || a || _p \ leq 1 \} [/ matemáticas]. Echemos un vistazo a las bolas de unidad en cada una de estas normas. Primero, [matemáticas] B ^ 2 [/ matemáticas], que es la bola euclidiana:
Ok, ahora piense en lo que sucede cuando p crece. En realidad, cada vez es más fácil que los vectores estén en [matemáticas] B ^ p [/ matemáticas]. Esto se debe a que cada componente de su vector es menor que 1, por lo que los exponentes más altos (es decir, p) hacen que todo sea más pequeño. Entonces, aquí está p = 4, y observe la geometría cambiada:
También podemos tomar el límite cuando p va al infinito. Lo que sucede aquí es que ahora se requiere que los puntos en la bola unitaria [matemática] B ^ \ infty [/ matemática] tengan cada coordenada con un valor absoluto menor que 1:
Cuando p es menor, el requisito de admisión en la bola de la unidad es más difícil, y [matemática] B ^ 1 [/ matemática] se ve así.
En su cabeza, imagine la transición de p = 4 a p = 2, a p = 1. Hay una transición muy especial en p = 1. En particular, la forma de la bola de la unidad está a punto de perder su convexidad. Aquí está [matemáticas] B ^ \ frac {1} {2} [/ matemáticas]:
Ok, definitivamente me dejé llevar haciendo fotos! Pensemos en los espacios de Banach y los espacios de Hilbert en el contexto de sus bolas unitarias. Para que [math] || \ cdot || _p [/ math] induzca un espacio de Banach, es necesario y suficiente que la bola unitaria [math] B ^ p [/ math] sea convexa . Esto explica por qué es un requisito que [math] p \ geq 1 [/ math], porque allí es donde ocurre la transición de convexo a no convexo. ¡Se requiere convexidad porque significa que la desigualdad del triángulo es válida!
Ok, ahora finalmente al punto real de la pregunta, ¿cuál es la diferencia entre los espacios de Banach y Hilbert? La pregunta, reformulada en la configuración de bolas de unidad, se convierte en, ¿qué tiene de especial el círculo? Pero para responder las cosas geométricamente, necesitamos saber cuáles son las repercusiones geométricas de que exista un producto interno. Específicamente, en nuestra configuración, [math] || x || _2 = \ sqrt {x \ cdot x} [/ math], con el punto representando un producto interno. La existencia de un producto punto es lo que distingue los espacios de Hilbert de los espacios genéricos de Banach.
Lo que pasa con los productos internos es que siempre tienen estas transformaciones estables asociadas a ellos. Por ejemplo, en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], tenemos las matrices de rotación, que es demasiado complicado para mí escribir en quora: matriz de rotación. Posiblemente los haya visto en cálculo o álgebra lineal. Ahora, estas matrices [matemáticas] R [/ matemáticas] giran un punto por [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] radianes sobre el origen, y también conservan el producto interno: [matemáticas] x \ cdot x = Rx \ cdot Rx [/matemáticas]. Pensando en esto por un segundo, puedes ver que obliga a la bola de la unidad a ser un círculo. En última instancia, el teorema de Pitágoras, que es la propiedad estructural clave de los espacios de Hilbert, se introduce en la ortogonalidad de la matriz de rotación. Pero, puedes ver que la presencia de un círculo como bola unitaria es forzada por la representación interna del producto de la norma. Un poco más en general, puede ver la estrecha conexión entre las formas cuadráticas y los espacios de Hilbert. Así como el círculo corresponde a la distancia euclidiana, otras elipses corresponden a estructuras espaciales de Hilbert más elaboradas en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math].
