El concepto de lógica de primer orden solo se remonta a unos 125 años, y la teoría de conjuntos no mucho más. Antes, los matemáticos usaban los principios lógicos convincentes. Algunos eran de primer orden, otros de orden superior.
Con el advenimiento de la teoría de conjuntos, la lógica de orden superior podría reducirse a primer orden, ya que los predicados y las funciones en conjuntos pueden tratarse como conjuntos en sí mismos. Ahora, casi todo lo que hacen los matemáticos se puede hacer en lógica de primer orden con la ayuda de la teoría de conjuntos.
Como ejemplo de un principio de segundo orden reducido a primer orden con la ayuda de la teoría de conjuntos, considere este. Suponga que tiene dos dominios [matemática] X [/ matemática] e [matemática] Y [/ matemática] y un predicado [matemática] P (x, y) [/ matemática] cuyo primer argumento [matemática] x [/ matemática] está en el dominio [matemáticas] X [/ matemáticas] y cuyo segundo argumento [matemáticas] y [/ matemáticas] está en el dominio [matemáticas] Y [/ matemáticas]. Un principio de segundo orden dice que si para todas [matemáticas] x [/ matemáticas] existe una [matemáticas] y [/ matemáticas] tal que [matemáticas] P (x, y) [/ matemáticas], entonces hay una función [matemática] f (x) [/ matemática] tal que para todos [matemática] x [/ matemática], [matemática] P (x, f (x)) [/ matemática]. Tenga en cuenta que este es un principio de segundo orden, ya que dice que para todos los predicados con cierta propiedad existe una función, y la cuantificación de predicados y funciones es de segundo orden.
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Para reducir ese principio de segundo orden a primer orden usando la teoría de conjuntos, interprete los dominios [math] X [/ math] e [math] Y [/ math] como conjuntos, y predicados y funciones como ciertos subconjuntos del conjunto de productos [math] ] X \ veces Y [/ matemáticas]. Entonces ese principio se convierte en el Axioma de Elección.
Entonces, sí, en su mayor parte, los matemáticos solo necesitan lógica de primer orden y teoría de conjuntos.
